Номер 956, страница 189 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 956, страница 189.

Условие.

956. Конечную десятичную дробь записали в виде обыкновенной несократимой дроби. Может ли знаменатель этой дроби иметь простые делители, отличные от 2 и 5?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Любая конечная десятичная дробь по определению может быть представлена в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. То есть, любую конечную десятичную дробь можно записать в виде $\frac{A}{10^n}$, где $A$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Рассмотрим знаменатель этой дроби, $10^n$. Разложим его на простые множители: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$. Из этого разложения видно, что единственными простыми делителями знаменателя $10^n$ являются числа 2 и 5.

Далее, по условию, эту дробь приводят к несократимому виду $\frac{p}{q}$ путем деления числителя $A$ и знаменателя $10^n$ на их наибольший общий делитель. Новый знаменатель $q$ будет являться делителем исходного знаменателя $10^n$.

Согласно основной теореме арифметики, любой делитель числа может состоять только из тех простых множителей, которые входят в разложение самого числа. Поскольку простыми множителями числа $10^n$ являются только 2 и 5, то и любой его делитель $q$ в своем разложении на простые множители может содержать только степени чисел 2 и 5.

Следовательно, знаменатель несократимой дроби, полученной из конечной десятичной дроби, не может иметь никаких других простых делителей, кроме 2 и 5.

Например, рассмотрим десятичную дробь $0,625$. Запишем ее в виде обыкновенной дроби: $0,625 = \frac{625}{1000}$. Исходный знаменатель $1000 = 10^3 = 2^3 \cdot 5^3$. При сокращении этой дроби на $125$ получаем несократимую дробь: $\frac{625 : 125}{1000 : 125} = \frac{5}{8}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 8. Его разложение на простые множители — $8 = 2^3$. Он содержит только простой делитель 2.

Ответ: Нет, не может.