Страница 156, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

10. При поднятии воды из колодца вал делает 14 оборотов. Какой длины нужно купить цепь для ведра, если диаметр d вала 25 см?

10.

Оборотов – 14;

d вала – 25 см.

Цепь - ? см.

π ≈ 3,14

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С} = \mathrm{\pi d} = 3,14 · 25 = 78,5$(см) – длина одного оборота вала.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 78,5 · 14 = 1099$(см) ≈ 11 м – длина цепи.

Ответ: 11 м

Для того чтобы найти необходимую длину цепи, нужно вычислить, какая длина цепи наматывается на вал за один полный оборот, а затем умножить это значение на общее количество оборотов.

1. Длина цепи, которая наматывается на вал за один оборот, равна длине окружности вала. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = \pi d$

где $d$ — это диаметр вала.

По условию задачи, диаметр вала $d = 25$ см. Подставим это значение в формулу:

$C = \pi \times 25$ см.

2. Чтобы определить общую длину цепи $L$, необходимо длину одного оборота ($C$) умножить на количество оборотов ($n$), которое по условию равно 14.

$L = n \times C$

Подставим числовые значения:

$L = 14 \times (25 \times \pi) = 350\pi$ см.

3. Для получения практического результата вычислим приближенное значение длины. Примем значение числа $\pi \approx 3.14159$.

$L \approx 350 \times 3.14159 \approx 1099.56$ см.

4. Обычно длину цепи для колодца удобнее выражать в метрах. Переведем сантиметры в метры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров:

$L \approx 1099.56 \text{ см} = \frac{1099.56}{100} \text{ м} \approx 11$ м.

Следовательно, для ведра нужно купить цепь длиной примерно 11 метров.

Ответ: Требуемая длина цепи равна $350\pi$ см, что составляет примерно 11 м.

11. Какого диаметра надо купить круглый стол, чтобы за ним смогли завтракать 5 человек и на каждого сидящего приходилось не менее 60 см по краю стола?

11.

5 человек, на каждого 60 см

если сидят 5 человек по кругу, то между ними 5 промежутков

60 • 5 = 300 (см) – длина окружности стола

С = 300 см; С = πd; π ≈ 3,14

d = C : π ≈ 300 : 3,14 ≈ 30000 : 314 ≈ 95,54… ≈ 96 (см) – диаметр стола.

Ответ: 96 см.

Для того чтобы определить диаметр стола, сначала необходимо рассчитать минимальную длину его окружности, исходя из требуемого пространства для каждого человека.

По условию, за столом должны разместиться 5 человек, и на каждого из них должно приходиться не менее 60 см по краю стола. Край круглого стола — это его окружность.

1. Вычислим минимальную длину окружности стола ($C$).Для этого умножим количество человек на минимальное расстояние для одного человека:
$C_{мин} = 5 \text{ человек} \times 60 \text{ см/человек} = 300 \text{ см}$.

2. Найдем диаметр стола ($d$).Длина окружности связана с диаметром формулой:
$C = \pi d$
Чтобы найти диаметр, выразим его из этой формулы:
$d = \frac{C}{\pi}$

Теперь подставим в формулу вычисленную минимальную длину окружности, чтобы найти минимально допустимый диаметр стола:
$d = \frac{300}{\pi} \text{ см}$

Для получения числового ответа воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$:
$d \approx \frac{300}{3.14159} \approx 95.49 \text{ см}$

Следовательно, диаметр круглого стола должен быть не менее этого значения. На практике это значение можно округлить до 96 см или 100 см при выборе стола.

Ответ: Диаметр круглого стола должен быть не менее $\frac{300}{\pi}$ см, что составляет примерно 95,5 см.

12. Два спортсмена должны пробежать один круг по соседним дорожкам стадиона, форма которого — прямоугольник с двумя примыкающими полукругами, у которых диаметр равен 40 м. Ширина дорожек 2 м. Какое расстояние должно быть между ними на старте, чтобы компенсировать разность длин дорожек, по которым они бегут?

12.

d = 40 м. π ≈ 3,14.

Ширина дорожки – 2 м

Так как по прямой расстояние одинаковое, то отличие будет только а полуокружностях, которые вместе образуют полный круг.

Получается, первый будет бежать по окружности d = 40 м, а второй по окружности d = 40 + 2 + 2 = 44 (м). Ширина дорожки прибавляется по обе стороны.

1) 40 + 4 = 44 (м) – диаметр полукруга другого бегуна;

2) С = π • 40 = 40π (м) – пробежит один бегун

3) С = π • 44 = 44π (м) – пробежит другой бегун;

4) 44π – 40π = 4π = 4 • 3,14 = 12,56 (м) – должно быть между бегунами на старте

Ответ: 12,56 м.

Для решения этой задачи необходимо найти разность длин двух соседних дорожек стадиона. Форма стадиона состоит из двух прямых участков одинаковой длины и двух полукругов.

Длина прямых участков одинакова для обеих дорожек, поэтому разница в общей длине круга возникает только за счет закругленных частей. Два полукруга образуют полную окружность.

Для внутренней дорожки диаметр этой окружности, согласно условию, равен $d_1 = 40$ м. Ее радиус составляет $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$ м. Длина закругленной части (длина окружности) для внутренней дорожки равна $C_1 = 2\pi r_1$.

Спортсмен на внешней дорожке бежит на расстоянии, равном ширине дорожки, то есть $w = 2$ м от края внутренней дорожки. Таким образом, радиус его траектории на поворотах больше: $r_2 = r_1 + w = 20 + 2 = 22$ м. Длина закругленной части для внешней дорожки составляет $C_2 = 2\pi r_2$.

Разность длин дорожек, которую нужно компенсировать, равна разности длин их закругленных частей: $\Delta L = C_2 - C_1$.

Выполним вычисления, подставив формулы для длин окружностей: $\Delta L = 2\pi r_2 - 2\pi r_1 = 2\pi (r_2 - r_1)$.

Так как разница радиусов $r_2 - r_1$ равна ширине дорожки $w$, то разность длин равна $\Delta L = 2\pi w$.

Подставим известное значение ширины дорожки: $\Delta L = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ м.

Это расстояние и есть та компенсация, которую необходимо обеспечить на старте. Спортсмен на внешней дорожке должен стартовать на $4\pi$ м впереди спортсмена на внутренней дорожке, чтобы их общие дистанции были равны.

Ответ: $4\pi$ м.

13. Три предпринимателя проинвестировали создание нового мультфильма. Первый вложил 600 000 р., второй — 900 000 р., а третий — 1 500 000 р. За год проката мультфильма они получили прибыль 2 340 000 р. Сколько денег получит каждый из предпринимателей при условии распределения прибыли пропорционально их инвестициям?

13.

1) 600000 + 900000 + 1500000 = 3000000 (р) – вложили все предприниматели вместе;

2) 2340000 : 3000000 = 234 : 300 = 0,78 – приходится на каждый вложенный рубль;

3) 0,78 • 600000 = 468000 (р) – получит прибыль первый;

4) 0,78 • 900000 = 702000 (р) – получит прибыль второй;

5) 0,78 • 1500000 = 1170000 (р) – получит прибыль третий.

Ответ: 478 000 р., 702 000 р., 1 170 000 р.

Для решения этой задачи необходимо распределить общую прибыль пропорционально суммам, вложенным каждым предпринимателем. Это задача на пропорциональное деление.

1. Найдем общую сумму инвестиций

Сначала сложим все вклады, чтобы найти общий инвестиционный капитал:

$600 \, 000 + 900 \, 000 + 1 \, 500 \, 000 = 3 \, 000 \, 000$ рублей.

2. Определим соотношение вкладов

Прибыль делится пропорционально вкладам, поэтому найдем отношение инвестиций:

$600 \, 000 : 900 \, 000 : 1 \, 500 \, 000$

Чтобы упростить это отношение, разделим каждое число на их наибольший общий делитель. Можно заметить, что все числа делятся на $300 \, 000$.

$600 \, 000 \div 300 \, 000 = 2$

$900 \, 000 \div 300 \, 000 = 3$

$1 \, 500 \, 000 \div 300 \, 000 = 5$

Таким образом, вклады предпринимателей соотносятся как $2:3:5$. Это означает, что всю прибыль нужно разделить на $2 + 3 + 5 = 10$ частей.

3. Рассчитаем прибыль каждого предпринимателя

Общая прибыль составляет $2 \, 340 \, 000$ рублей. Найдем стоимость одной части, разделив общую прибыль на количество частей:

$2 \, 340 \, 000 \div 10 = 234 \, 000$ рублей.

Теперь вычислим, сколько денег получит каждый предприниматель, умножив стоимость одной части на количество его долей в общем деле.

Прибыль первого предпринимателя (2 части):

$2 \times 234 \, 000 = 468 \, 000$ рублей.

Прибыль второго предпринимателя (3 части):

$3 \times 234 \, 000 = 702 \, 000$ рублей.

Прибыль третьего предпринимателя (5 частей):

$5 \times 234 \, 000 = 1 \, 170 \, 000$ рублей.

Проверим расчеты, сложив все доли прибыли:

$468 \, 000 + 702 \, 000 + 1 \, 170 \, 000 = 2 \, 340 \, 000$ рублей, что равно общей прибыли.

Ответ: первый предприниматель получит 468 000 р., второй — 702 000 р., а третий — 1 170 000 р.

14. Задача А. П. Киселёва. На пять одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если девять таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

14.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 24 · 6 · 5 = 24 · 30 = 720$(ч) – всего горели 5 керосинок;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 120 : 720 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{120}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{720}}}} = \frac{1}{6}$(л) – расходует 1 керосинка за 1 час;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{6} · 9 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} = \frac{3}{2}$ (л) – израсходуют за 1 час 9 керосинок;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{3}{2} · 8 = \frac{24}{2} = 12$ (л) – израсходуют за 8 часов 9 керосинок;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ } 216 : 12 = 18$(д) – хватит 216 л.

Ответ: на 18 дней.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти норму расхода керосина одной керосинкой за один час. Эта величина является постоянной.

1. Сначала вычислим общее время горения всех керосинок в первом случае. У нас было 5 керосинок, которые горели 24 дня по 6 часов в день. Общее количество часов горения равно:

$5 \text{ (керосинок)} \times 24 \text{ (дня)} \times 6 \text{ (часов/день)} = 720 \text{ часов}$.

2. За эти 720 часов было израсходовано 120 литров керосина. Теперь можно найти расход керосина одной керосинкой за один час. Для этого общий объем израсходованного керосина разделим на общее время горения:

$\text{Расход} = \frac{120 \text{ л}}{720 \text{ ч}} = \frac{1}{6} \text{ л/ч}$.

Итак, одна керосинка потребляет $\frac{1}{6}$ литра керосина в час.

3. Теперь перейдем ко второму условию. Нам нужно узнать, на сколько дней хватит 216 л керосина для 9 керосинок, которые будут гореть по 8 часов в день. Сначала найдем, сколько керосина будут расходовать все 9 керосинок за один день.

Дневной расход одной керосинки: $8 \text{ ч/день} \times \frac{1}{6} \text{ л/ч} = \frac{8}{6} \text{ л/день} = \frac{4}{3} \text{ л/день}$.

Дневной расход девяти керосинок: $9 \text{ (керосинок)} \times \frac{4}{3} \text{ л/день} = 3 \times 4 = 12 \text{ л/день}$.

4. Зная, что в день расходуется 12 литров керосина, а всего у нас есть 216 литров, мы можем найти, на сколько дней их хватит. Для этого разделим общий объем керосина на суточный расход:

$\text{Количество дней} = \frac{216 \text{ л}}{12 \text{ л/день}} = 18 \text{ дней}$.

Ответ: 216 л керосина хватит на 18 дней.