Страница 152, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.174. В круглой беседке диаметром 4 м необходимо покрасить пол. Сколько краски потребуется, если на 1 м² расходуется 0,16 кг краски?

3.174

$\mathrm{d} = 4\mathrm{м}. \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2. 1 {\mathrm{м}}^2 = 0,16 \mathrm{кг}.$

1) 4 : 2 = 2 (м) – r;

2) S = 3,14 • 2² = 3,14 • 4 = 12,56 (м²).

3) 12,56 • 0,16 = 2,0096 (кг) – краски понадобится.

Ответ: 2,0096 кг.

Для решения задачи необходимо сначала найти площадь пола круглой беседки, а затем вычислить общее количество краски, которое потребуется для ее покраски.

1. Находим площадь пола.
Пол беседки представляет собой круг. Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга.
Из условия известно, что диаметр беседки $d = 4$ м. Радиус равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{4 \text{ м}}{2} = 2 \text{ м}$.
Теперь можем вычислить площадь пола. В расчетах будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.
$S = \pi r^2 \approx 3,14 \cdot (2 \text{ м})^2 = 3,14 \cdot 4 \text{ м}^2 = 12,56 \text{ м}^2$.

2. Находим необходимое количество краски.
По условию, на 1 м² расходуется 0,16 кг краски. Чтобы найти общее количество краски, необходимо умножить площадь пола на норму расхода:
$12,56 \text{ м}^2 \times 0,16 \text{ кг/м}^2 = 2,0096 \text{ кг}$.

Ответ: для покраски пола потребуется 2,0096 кг краски.

3.175. Самый большой в мире вращающийся глобус «Эрта» расположен в городе Ярмут, США. Огромный земной шар диаметром 12,5 м весит 2,5 т. В каком масштабе этот глобус изображает Землю? Чему равна длина экватора и меридианов на этом глобусе? Длину экватора Земли найдите в Интернете и округлите до тысяч километров.

3.175

$\mathrm{d} = 12,5 \mathrm{м}; \mathrm{m} = 2,5 \mathrm{т}. \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

экватор Земли ≈ 40 075 696 м ≈ 40 076 000 м

С = 40 076 000 м

${С}_1 = \pi d = 3,14 · 12,5 = 39,25$(м) – длина экватора глобуса.

$$\begin{gathered} \frac{40}{1} = \frac{40 076 000}{х}; \\ х = \frac{1 · 40 076 000}{40} = 1 001 900 \end{gathered}$$

длина меридиана Земли равна 20 003,93 км = 20 000 930 м

20 000 930 : 1 001900 ≈ 19,96 м – длина меридиана на глобусе

Ответ: 1 : 1001900; 19,96 м; 39,25 м.

В каком масштабе этот глобус изображает Землю?
Для определения масштаба необходимо сравнить линейный размер глобуса (его диаметр) с соответствующим реальным размером Земли (ее диаметром).
1. Диаметр глобуса «Эрта» дан в условии: $D_{глобус} = 12,5$ м.
2. Согласно условию, найдем длину экватора Земли в Интернете и округлим ее до тысяч километров. Средняя длина экватора Земли составляет примерно $40\,075$ км. Округляя до тысяч, получаем $L_{Земля} \approx 40\,000$ км.
3. Зная длину экватора, можно найти экваториальный диаметр Земли по формуле $D = L / \pi$. Переведем все в метры: $L_{Земля} \approx 40\,000\,000$ м.
$D_{Земля} = \frac{40\,000\,000 \text{ м}}{\pi} \approx 12\,732\,395$ м.
4. Масштаб — это отношение размера на модели к реальному размеру. Обычно его представляют в формате $1:N$, где $N$ показывает, во сколько раз реальный объект больше модели.
$N = \frac{D_{Земля}}{D_{глобус}} = \frac{12\,732\,395 \text{ м}}{12,5 \text{ м}} \approx 1\,018\,592$
Таким образом, масштаб глобуса составляет примерно $1:1\,018\,592$. Часто для практических целей масштаб округляют до более "круглого" числа, например, $1:1\,000\,000$. Однако, исходя из предоставленных данных, более точным будет вычисленное значение.
Ответ: Масштаб глобуса примерно $1:1\,018\,592$.

Чему равна длина экватора и меридианов на этом глобусе?
1. Длина экватора на глобусе вычисляется как длина окружности, диаметр которой равен диаметру глобуса.
Формула длины окружности: $L = \pi \times D$.
$L_{экватора} = \pi \times 12,5 \text{ м} \approx 39,27$ м.
2. Длина меридиана на глобусе. Меридиан — это полуокружность, соединяющая Северный и Южный полюсы. Его длина равна половине длины большой окружности (экватора).
$L_{меридиана} = \frac{L_{экватора}}{2} = \frac{39,27 \text{ м}}{2} \approx 19,64$ м.
Ответ: Длина экватора на глобусе равна примерно $39,27$ м, а длина каждого меридиана — примерно $19,64$ м.

3.176. Полярная крачка на зимовье перелетает из Арктики в Антарктиду. Какое расстояние она преодолевает, если полярный диаметр Земли равен 12 714 км?

3.176

d = 12714 км; π≈3,14. С = πd.

1) С = 3,14 • 12714 = 39921,96 (км) – длина окружности

2) 39921,96 : 2 = 19960,98 (км) – преодолевает крачка

Ответ: 19960,98 км.

Для того чтобы найти расстояние, которое преодолевает полярная крачка, нам нужно вычислить длину пути по поверхности Земли от Арктики (Северный полюс) до Антарктиды (Южный полюс). Этот путь является дугой меридиана и равен половине длины окружности Земли, проходящей через полюса.

Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле:$C = \pi d$где $d$ — это диаметр.

В задаче указан полярный диаметр Земли: $d = 12\,714$ км.

Расстояние ($S$), которое пролетает птица, составляет половину от длины этой окружности. Рассчитаем его по формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot d$

Для расчетов будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$.

Подставим данные в формулу и выполним вычисления:$S = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 12\,714 \text{ км} = 1.57 \cdot 12\,714 \text{ км} = 19960.98 \text{ км}$

Округлим полученное значение до ближайшего целого километра.$S \approx 19\,961 \text{ км}$

Ответ: полярная крачка преодолевает расстояние примерно в $19\,961$ км.

3.177. Диаметр Луны приближённо равен 3,5 тыс. км, что составляет 0,275 диаметра Земли, а диаметр планеты Уран в 4 раза больше земного. Найдите диаметры Земли и Урана.

3.177

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3,5 : 0,275 = 3500 : 275 = \frac{{\displaystyle \stackrel{140}{\cancel{3500}}}}{{\displaystyle \underset{11}{\cancel{275}}}} =$

$= \frac{140}{11} = 12\frac{8}{11}$ (тыс. км) – диаметр Земли

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }4 · 12\frac{8}{11} = 4 · \frac{140}{11} = \frac{560}{11} = 50\frac{10}{11}$ (тыс. км) – диаметр Урана.

Ответ: $12\frac{8}{11}$тыс. км и $50\frac{10}{11}$ тыс. км.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $Д_Л$ — диаметр Луны, $Д_З$ — диаметр Земли, $Д_У$ — диаметр Урана.

Из условия задачи известно:

• Диаметр Луны: $Д_Л \approx 3,5 \text{ тыс. км} = 3500 \text{ км}$
• Соотношение диаметров Луны и Земли: $Д_Л = 0,275 \cdot Д_З$
• Соотношение диаметров Урана и Земли: $Д_У = 4 \cdot Д_З$

Диаметр Земли

Сначала найдем диаметр Земли. Для этого воспользуемся соотношением $Д_Л = 0,275 \cdot Д_З$. Выразим из него $Д_З$:

$Д_З = \frac{Д_Л}{0,275}$

Подставим известное значение диаметра Луны ($3500$ км):

$Д_З = \frac{3500}{0,275}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$Д_З = \frac{3500 \cdot 1000}{0,275 \cdot 1000} = \frac{3500000}{275}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

$Д_З = \frac{3500000 \div 25}{275 \div 25} = \frac{140000}{11}$

Теперь разделим 140000 на 11:

$Д_З \approx 12727,2727... \text{ км}$

Округлив результат до целого числа, получаем, что диаметр Земли приблизительно равен 12727 км.

Ответ: Диаметр Земли приблизительно равен 12727 км.

Диаметр Урана

Теперь, зная диаметр Земли, найдем диаметр Урана. По условию, он в 4 раза больше земного:

$Д_У = 4 \cdot Д_З$

Для более точного расчета используем найденное значение $Д_З$ в виде дроби $\frac{140000}{11}$ км:

$Д_У = 4 \cdot \frac{140000}{11} = \frac{560000}{11}$

Выполним деление:

$Д_У \approx 50909,0909... \text{ км}$

Округлив результат до целого числа, получаем, что диаметр Урана приблизительно равен 50909 км.

Ответ: Диаметр Урана приблизительно равен 50909 км.

3.178. Вычислите.

3.178

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 370 + 230 = 600; \\ 600 : 50 = 12; \\ 12 · 30 = 360; \\ 360 + 340 = 700; \\ 700 + 14 = 714. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }720 : 18 = 40; \\ 40 + 280 = 320; \\ 320 : 16 = 20; \\ 20 · 50 = 1000; \\ 1000 : 125 = 8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 7,2 : 2,4 = 72 : 24 = 3; \\ 3 – 0,6 = 2,4; \\ 2,4 : 0,12 = 240 : 12 = 20; \\ 20 · 0,125 = 2,5; \\ 2,5 + 7,5 = 10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }6 – 4,5 = 1,5; \\ 1,5 · 0,4 = 0,6; \\ 0,6 : 0,12 = 60 : 12 = 5; \\ 5 · 7 = 35; \\ 35 + 0,8 = 35,8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }8 · 1,2 = 9,6; \\ 9,6 + 0,4 = 10; \\ 10 · 0,01 = 0,1; \\ 0,1 : 0,5 = 1 : 5 = 0,2; \\ 0,2 : 0,1 = 2 : 1 = 2. \end{gathered}$$

а) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Сначала сложим числа: $370 + 230 = 600$.
2. Затем разделим результат на 50: $600 : 50 = 12$.
3. Умножим полученное число на 30: $12 \cdot 30 = 360$.
4. Прибавим 340: $360 + 340 = 700$.
5. И в последнем действии прибавим 14: $700 + 14 = 714$.
Ответ: 714

б) Решим по шагам:
1. Делим 720 на 18: $720 : 18 = 40$.
2. К результату прибавляем 280: $40 + 280 = 320$.
3. Полученную сумму делим на 16: $320 : 16 = 20$.
4. Результат умножаем на 50: $20 \cdot 50 = 1000$.
5. И наконец, делим 1000 на 125: $1000 : 125 = 8$.
Ответ: 8

в) Выполним вычисления с десятичными дробями:
1. Делим 7,2 на 2,4. Это то же самое, что делить 72 на 24: $7,2 : 2,4 = 3$.
2. Вычитаем 0,6 из результата: $3 - 0,6 = 2,4$.
3. Делим 2,4 на 0,12. Это эквивалентно делению 240 на 12: $2,4 : 0,12 = 20$.
4. Умножаем результат на 0,125. Удобно представить 0,125 как дробь $\frac{1}{8}$: $20 \cdot 0,125 = 20 \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$.
5. К полученному числу прибавляем 7,5: $2,5 + 7,5 = 10$.
Ответ: 10

г) Проведем вычисления по порядку:
1. Находим разность: $6 - 4,5 = 1,5$.
2. Умножаем результат на 0,4: $1,5 \cdot 0,4 = 0,6$.
3. Делим полученное число на 0,12. Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо: $0,60 : 0,12 = 60 : 12 = 5$.
4. Умножаем результат на 7: $5 \cdot 7 = 35$.
5. Прибавляем 0,8: $35 + 0,8 = 35,8$.
Ответ: 35,8

д) Решим последний пример:
1. Выполняем умножение: $8 \cdot 1,2 = 9,6$.
2. К результату прибавляем 0,4: $9,6 + 0,4 = 10$.
3. Умножаем полученную сумму на 0,01: $10 \cdot 0,01 = 0,1$.
4. Делим результат на 0,5. Деление на 0,5 равносильно умножению на 2: $0,1 : 0,5 = 0,2$.
5. Наконец, делим 0,2 на 0,1. Деление на 0,1 равносильно умножению на 10: $0,2 : 0,1 = 2$.
Ответ: 2

3.179. На плане изображён прямоугольный бассейн. Определите длину бассейна и его площадь, если на плане ширина бассейна 6 см, а длина вдвое больше. Масштаб плана 1 : 100.

3.179

$\frac{6}{1} = \frac{х}{100};$

$\mathbf{1}\mathbf{)} х = \frac{6 · 100}{1} = \frac{600}{1} = 600 (\mathrm{см}) = 6 \mathrm{м}$ - ширина бассейна;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 6 · 2 = 12$ (м) – длина бассейна

$\mathbf{3}\mathbf{)} S = 12 · 6 = 72$ (м²).

Ответ: 12м, 72 м².

Определение длины бассейна

1. Найдём размеры бассейна на плане. Согласно условию, ширина бассейна на плане составляет 6 см, а его длина вдвое больше.
Длина на плане: $12 \text{ см} = 2 \times 6 \text{ см}$.
2. Используем указанный масштаб 1:100 для определения реальной длины. Этот масштаб означает, что 1 см на плане соответствует 100 см в реальности.
Реальная длина: $1200 \text{ см} = 12 \text{ см} \times 100$.
3. Для удобства переведем сантиметры в метры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров.
$12 \text{ м} = 1200 \text{ см} \div 100$.

Ответ: 12 м.

Определение площади бассейна

1. Сначала найдем реальную ширину бассейна. Ширина на плане — 6 см.
Реальная ширина: $600 \text{ см} = 6 \text{ см} \times 100$.
Переведем в метры: $6 \text{ м} = 600 \text{ см} \div 100$.
2. Площадь прямоугольного бассейна вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ — ширина, а $b$ — длина.
$S = 6 \text{ м} \times 12 \text{ м} = 72 \text{ м}^2$.

Ответ: 72 м².

3.180. Заполните таблицу, если известно, что аb = сd

3.180

$$\begin{gathered} 1 : 3 = с : 15. \\ с = \frac{1 · 15}{3} = 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2 : b = 3,5 : 10,5. \\ b =\frac{2 · 10,5}{3,5} = \frac{2 · 105}{35} = \frac{210}{35} = 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2,4 : 4,8 = 1 : d. \\ d = \frac{4,8 · 1}{2,4}= 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4} = с : 5,2. \\ с = \frac{1{\displaystyle \frac{1}{2}} · 5,2}{2{\displaystyle \frac{1}{4}}} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}} · {\displaystyle \frac{52}{10}}}{{\displaystyle \frac{9}{4}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{26}{\bcancel{52}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{26}{5} · \frac{2}{3} = \frac{52}{15} = 3\frac{7}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а : \frac{4}{5} = 2\frac{1}{3} : 2,8. \\ а = \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}} · 2{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2,8} = \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{3}}}{{\displaystyle \frac{28}{10}}} = \frac{\sout{4}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{\sout{7}}{3} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{\sout{28}}= \\ =\frac{1}{1} · \frac{1}{3} · \frac{2}{1} = \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3х : 2х = с : 0,7. \\ с = \frac{3х · 0,7}{2х} = \frac{3 · 0,7}{2} = \frac{2,1}{2} = 1,05. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 5,2а : b = 2,1 : 0,6. \\ b = \frac{5,2 а ·{\displaystyle \stackrel{0,2}{\cancel{ 0,6}}}}{{\displaystyle \underset{0,7}{\cancel{2,1}}}} = \frac{5,2 а · 0,2}{0,7} = \frac{5,2 а · 2}{7} = \\ = \frac{10,4 а}{7} = \frac{104 }{70} а =1\frac{34}{70} а = 1\frac{17}{35} а. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3\frac{2}{5} : 1,5 = с : d. \\ 3\frac{2}{5} : 1,5 =\frac{17}{5} : \frac{15}{10} = \frac{17}{5} · \frac{10}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{34}{\cancel{170}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{75}}}}= \\ = \frac{34}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а : b = 2\frac{3}{4} : 3\frac{2}{3}. \\ 2\frac{3}{4} : 3\frac{2}{3} = \frac{11}{4} : \frac{11}{3} = \frac{\cancel{11}}{4} · \frac{3}{\cancel{11}} = \\ =\frac{1}{4} · \frac{3}{1}= \frac{3}{4}. \end{gathered}$$

Для заполнения таблицы воспользуемся основным свойством пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Для каждого столбца таблицы найдем недостающее значение, используя это свойство, которое также можно записать как $a \cdot d = b \cdot c$.

Даны значения: $a=1$, $b=3$, $d=15$. Необходимо найти $c$. Из пропорции следует, что $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем известные значения: $c = \frac{1 \cdot 15}{3} = \frac{15}{3} = 5$. Ответ: 5.

Даны значения: $a=2$, $c=3,5$, $d=10,5$. Необходимо найти $b$. Из пропорции следует, что $b = \frac{a \cdot d}{c}$. Подставляем известные значения: $b = \frac{2 \cdot 10,5}{3,5} = \frac{21}{3,5} = \frac{210}{35} = 6$. Ответ: 6.

Даны значения: $a=2,4$, $b=4,8$, $c=1$. Необходимо найти $d$. Из пропорции следует, что $d = \frac{b \cdot c}{a}$. Подставляем известные значения: $d = \frac{4,8 \cdot 1}{2,4} = 2$. Ответ: 2.

Даны значения: $a=1\frac{1}{2}$, $b=2\frac{1}{4}$, $d=5,2$. Необходимо найти $c$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $a = \frac{3}{2}$, $b = \frac{9}{4}$, $d = 5,2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}$. Из пропорции $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем значения: $c = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{26}{5}}{\frac{9}{4}} = \frac{3 \cdot 26}{2 \cdot 5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 26 \cdot 4}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 26 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{52}{15} = 3\frac{7}{15}$. Ответ: $3\frac{7}{15}$.

Даны значения: $b=\frac{4}{5}$, $c=2\frac{1}{3}$, $d=2,8$. Необходимо найти $a$. Переведем числа в обыкновенные дроби: $b = \frac{4}{5}$, $c = \frac{7}{3}$, $d = 2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$. Из пропорции $a = \frac{b \cdot c}{d}$. Подставляем значения: $a = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}}{\frac{14}{5}} = \frac{28}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 14 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 14} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

Даны значения: $a=3x$, $b=2x$, $d=0,7$. Необходимо найти $c$. Предполагаем, что $x \neq 0$. Из пропорции $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем значения: $c = \frac{3x \cdot 0,7}{2x} = \frac{3 \cdot 0,7}{2} = \frac{2,1}{2} = 1,05$. Ответ: 1,05.

Даны значения: $a=5,2a$, $c=2,1$, $d=0,6$. Необходимо найти $b$. В данном случае в ячейке для $a$ стоит выражение $5,2a$, где $a$ - это переменная. Из пропорции $b = \frac{a_{value} \cdot d}{c}$. Подставляем значения: $b = \frac{5,2a \cdot 0,6}{2,1} = \frac{3,12a}{2,1} = \frac{312a}{210} = \frac{52a}{35}$. Ответ: $\frac{52}{35}a$.

Даны значения: $a=3\frac{2}{5}$, $b=1,5$. Необходимо найти пару значений $c$ и $d$. Сначала найдем отношение $\frac{a}{b} = \frac{3\frac{2}{5}}{1,5} = \frac{17/5}{3/2} = \frac{17}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{34}{15}$. Следовательно, отношение $\frac{c}{d}$ также должно быть равно $\frac{34}{15}$. Мы можем выбрать любую подходящую пару чисел, например, самую простую: $c=34$ и $d=15$. Ответ: например, $c=34, d=15$.

Даны значения: $c=2\frac{3}{4}$, $d=3\frac{2}{3}$. Необходимо найти пару значений $a$ и $b$. Сначала найдем отношение $\frac{c}{d} = \frac{2\frac{3}{4}}{3\frac{2}{3}} = \frac{11/4}{11/3} = \frac{11}{4} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{4}$. Следовательно, отношение $\frac{a}{b}$ также должно быть равно $\frac{3}{4}$. Мы можем выбрать любую подходящую пару чисел, например, самую простую: $a=3$ и $b=4$. Ответ: например, $a=3, b=4$.

3.181. Вместо звёздочек расставьте цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялось равенство.

** · * = *** = * · **

3.181

39 ∙ 4 = 156 = 2 ∙ 78.

Заданное равенство имеет вид $** \cdot * = *** = * \cdot **$. Это означает, что мы ищем такое трёхзначное число, которое можно представить в виде произведения двузначного числа на однозначное двумя разными способами. При этом все девять цифр, участвующих в записи этого равенства, должны быть различными и принадлежать множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Обозначим равенство в виде $AB \cdot C = DEF = G \cdot HI$, где $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ — это различные цифры от 1 до 9. Наша задача — найти эти цифры. Мы будем искать подходящее трёхзначное число $N = DEF$, которое имеет как минимум два разложения на множители вида «двузначное число $\times$ однозначное число», и при этом совокупность всех девяти цифр, составляющих оба разложения и само число $N$, будет состоять из всех цифр от 1 до 9 без повторений.

Рассмотрим в качестве кандидата число $N=174$. Его цифры ($1, 7, 4$) различны и не равны нулю. Найдём его разложения на множители, где один множитель — однозначное число, а второй — двузначное:

$174 = 2 \cdot 87$

$174 = 3 \cdot 58$

$174 = 6 \cdot 29$

Теперь необходимо выбрать два из этих разложений и проверить, удовлетворяют ли они главному условию об уникальности всех девяти используемых цифр. Возьмём пару разложений $3 \cdot 58 = 174$ и $6 \cdot 29 = 174$. Составим из них итоговое равенство в соответствии с шаблоном: $58 \cdot 3 = 174 = 29 \cdot 6$.

Проверим набор цифр, которые использованы для записи этого равенства. Цифры двузначного множителя $58$ — это $\{5, 8\}$. Цифра однозначного множителя $3$ — это $\{3\}$. Цифры результата $174$ — это $\{1, 7, 4\}$. Цифры второго двузначного множителя $29$ — это $\{2, 9\}$. И цифра второго однозначного множителя $6$ — это $\{6\}$.

Объединив все эти цифры, мы получим множество $\{5, 8, 3, 1, 7, 4, 2, 9, 6\}$. Как мы видим, это множество в точности совпадает с множеством всех цифр от 1 до 9, и каждая цифра в нем уникальна. Следовательно, найденное равенство является решением задачи.

Ответ: $58 \cdot 3 = 174 = 29 \cdot 6$. Также верным будет вариант $29 \cdot 6 = 174 = 58 \cdot 3$.

3.182. В библиотеке устарело 2312 книг, что составляет 17 % библиотечного фонда. Сколько книг было в библиотеке?

3.182

2312 : 0,17 = 231200 : 17 = 13600 (к) – было в библиотеке

Ответ: 13600 книг.

Эта задача решается нахождением целого по его части. Нам известно, что 2312 книги — это часть от общего библиотечного фонда, и эта часть составляет 17%. Нам нужно найти общее количество книг, то есть 100% фонда.

Обозначим общее количество книг в библиотеке за $x$.

Мы можем составить пропорцию, где $x$ соответствует 100%, а 2312 книг соответствуют 17%:

2312 книг → 17%
$x$ книг → 100%

Из пропорции следует равенство отношений:

$ \frac{2312}{x} = \frac{17}{100} $

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения:

$ x = \frac{2312 \times 100}{17} $

Выполним вычисления. Сначала разделим 2312 на 17:

$ 2312 \div 17 = 136 $

Теперь умножим полученный результат на 100, чтобы найти общее количество книг:

$ x = 136 \times 100 = 13600 $

Следовательно, всего в библиотеке было 13600 книг.

Ответ: 13600 книг.

3.183. 1) В классе 30 человек. Из них английский язык изучают в 213 раза больше учащихся, чем французский. Сколько человек изучают английский язык и сколько — французский?

2) В секции дзюдо занимаются 44 человека. Из них девочек в 223 раза меньше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков занимаются в секции?

3.183

Пусть х – учащихся изучают французский язык, тогда $2\frac{1}{3 } х$ - изучают английский язык. Зная, что всего учащихся 30 составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} х + 2\frac{1}{3} х = 30; \\ 3\frac{1}{3} х =30; \\ х = 30 : 3\frac{1}{3}; \\ х = 30 : \frac{10}{3}; \\ х = \stackrel{3}{\cancel{30}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{10}}}}; \\ х = 3 · 3; \end{gathered}$$

х = 9 (ч) – изучают французский язык;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } 30 – 9 = 21$(ч) – изучают английский язык.

Ответ: 9 и 21.

Пусть х – девочек в секции, тогда $2\frac{2}{3} х$-мальчиков. Зная, что всего в секции 44 человека, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} х + 2\frac{2}{3} х = 44; \\ 3\frac{2}{3} х =44; \\ х = 44 : 3\frac{2}{3}; \\ х = 44 : \frac{11}{3}; \\ х = \stackrel{4}{\cancel{44}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}; \\ х = 4 · 3; \end{gathered}$$

х = 12 (ч) – девочек;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 44 – 12 = 32$(ч) – мальчиков.

Ответ: 12 девочек и 32 мальчика.

1)

Пусть $x$ — количество учащихся, изучающих французский язык. Тогда, согласно условию, количество учащихся, изучающих английский язык, составляет $2\frac{1}{3}x$. Всего в классе 30 человек. Составим уравнение:

$x + 2\frac{1}{3}x = 30$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь подставим это значение в уравнение:

$x + \frac{7}{3}x = 30$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{7}{3}) = 30$

$x(\frac{3}{3} + \frac{7}{3}) = 30$

$x \cdot \frac{10}{3} = 30$

Найдем $x$:

$x = 30 \div \frac{10}{3} = 30 \cdot \frac{3}{10} = \frac{90}{10} = 9$

Итак, 9 человек изучают французский язык.

Теперь найдем количество человек, изучающих английский язык:

$30 - 9 = 21$

Проверим, выполняется ли условие, что изучающих английский в $2\frac{1}{3}$ раза больше, чем изучающих французский:

$21 \div 9 = \frac{21}{9} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Условие выполняется.

Ответ: английский язык изучают 21 человек, а французский — 9 человек.

2)

Пусть $x$ — количество мальчиков в секции. По условию, девочек в $2\frac{2}{3}$ раза меньше, значит, их количество составляет $x \div 2\frac{2}{3}$. Всего в секции 44 человека. Составим уравнение:

$x + (x \div 2\frac{2}{3}) = 44$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Подставим значение в уравнение:

$x + (x \div \frac{8}{3}) = 44$

$x + x \cdot \frac{3}{8} = 44$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{3}{8}) = 44$

$x(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}) = 44$

$x \cdot \frac{11}{8} = 44$

Найдем $x$:

$x = 44 \div \frac{11}{8} = 44 \cdot \frac{8}{11} = \frac{44 \cdot 8}{11} = 4 \cdot 8 = 32$

Итак, в секции занимаются 32 мальчика.

Теперь найдем количество девочек:

$44 - 32 = 12$

Проверим, выполняется ли условие, что девочек в $2\frac{2}{3}$ раза меньше, чем мальчиков:

$32 \div 12 = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Условие выполняется.

Ответ: в секции занимаются 12 девочек и 32 мальчика.

3.184. Найдите значение выражения:

1) 514 t + 935 t – 27 t при t = 1723; 2) 712 z – 518 z + 1360 z при z = 3947.

3.184

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{14} t + \frac{9}{35} t - \frac{2}{7} t = \left({\frac{5}{14}}^{\overline{)·5}} + {\frac{9}{35}}^{\overline{)·2}} - {\frac{2}{7}}^{\overline{)·10}}\right) t = \\ = \left(\frac{25}{70} + \frac{18}{70} - \frac{20}{70}\right) t = \frac{23}{70} t. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{При} \mathrm{t} = 1\frac{7}{23}: \\ \frac{23}{70} \mathrm{t} = \frac{23}{70} · 1\frac{7}{23} = \frac{\cancel{23}}{{\displaystyle \underset{7}{\bcancel{70}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{30}}}}{\cancel{23}} = \frac{1}{7} · \frac{3}{1} = \frac{3}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{12} z - \frac{5}{18} z + \frac{13}{60} z = \left({\frac{7}{12}}^{\overline{)·15}} - {\frac{5}{18} }^{\overline{)·10}}+ {\frac{13}{60}}^{\overline{)·3}}\right) z = \\ = \left(\frac{105}{180} - \frac{50}{180} + \frac{39}{180}\right) z = \frac{94}{180} z = \frac{47}{90} z. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{При} \mathrm{z} = 3\frac{9}{47}: \\ \frac{47}{90} \mathrm{z} =\frac{47}{90} · 3\frac{9}{47} = \frac{\cancel{47}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{90}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{150}}}}{\cancel{47}} = \frac{1}{3} · \frac{5}{1} = \\ = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}. \end{gathered}$$

1) Сначала упростим выражение $\frac{5}{14}t + \frac{9}{35}t - \frac{2}{7}t$, вынеся общий множитель $t$ за скобки.

$\frac{5}{14}t + \frac{9}{35}t - \frac{2}{7}t = (\frac{5}{14} + \frac{9}{35} - \frac{2}{7})t$

Теперь выполним действия с дробями в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 14, 35 и 7. $14 = 2 \cdot 7$; $35 = 5 \cdot 7$; $7 = 7$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Приведем дроби к общему знаменателю 70:

$\frac{5}{14} + \frac{9}{35} - \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 5}{14 \cdot 5} + \frac{9 \cdot 2}{35 \cdot 2} - \frac{2 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{25}{70} + \frac{18}{70} - \frac{20}{70} = \frac{25 + 18 - 20}{70} = \frac{43 - 20}{70} = \frac{23}{70}$

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{23}{70}t$.

Теперь подставим в него значение $t = 1\frac{7}{23}$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$t = 1\frac{7}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 7}{23} = \frac{30}{23}$

Вычислим значение выражения:

$\frac{23}{70} \cdot t = \frac{23}{70} \cdot \frac{30}{23} = \frac{23 \cdot 30}{70 \cdot 23} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

2) Сначала упростим выражение $\frac{7}{12}z - \frac{5}{18}z + \frac{13}{60}z$, вынеся общий множитель $z$ за скобки.

$\frac{7}{12}z - \frac{5}{18}z + \frac{13}{60}z = (\frac{7}{12} - \frac{5}{18} + \frac{13}{60})z$

Теперь выполним действия с дробями в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 12, 18 и 60. $12 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3^2$; $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$\frac{7}{12} - \frac{5}{18} + \frac{13}{60} = \frac{7 \cdot 15}{12 \cdot 15} - \frac{5 \cdot 10}{18 \cdot 10} + \frac{13 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{105}{180} - \frac{50}{180} + \frac{39}{180} = \frac{105 - 50 + 39}{180} = \frac{55 + 39}{180} = \frac{94}{180}$

Сократим полученную дробь: $\frac{94}{180} = \frac{47}{90}$.

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{47}{90}z$.

Теперь подставим в него значение $z = 3\frac{9}{47}$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$z = 3\frac{9}{47} = \frac{3 \cdot 47 + 9}{47} = \frac{141 + 9}{47} = \frac{150}{47}$

Вычислим значение выражения:

$\frac{47}{90} \cdot z = \frac{47}{90} \cdot \frac{150}{47} = \frac{47 \cdot 150}{90 \cdot 47} = \frac{150}{90} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$