Страница 147, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.145. Решите задачу, составив пропорцию:

1) В 3,6 кг риса содержится 2,7 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 2,2 кг риса?

2) В 4,5 т сахарной свёклы содержится 2,9 т сахара. Сколько сахара содержится в 11,7 т сахарной свёклы?

3.145

1)

$$\begin{gathered} \frac{2,2}{3,6} = \frac{х}{2,7}; \\ х = \frac{2,2 ·2,7}{3,6} = \frac{2,2 ·{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{36}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1,1}{\cancel{2,2}}} · 3}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} = \\ = \frac{1,1 · 3}{2} = \frac{3,3}{2} = 1,65 \left(\mathrm{кг}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 1,65 кг.

2)

$$\begin{gathered} \frac{4,5}{11,7} = \frac{2,9}{х}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1,3}{\cancel{11,7}}} ·2,9}{{\displaystyle \underset{0,5}{\cancel{4,5}}}} = \frac{1,3 · 2,9}{{\displaystyle 0,5}} = \frac{{\displaystyle 37,7}}{{\displaystyle 0,5}} = \\ = 7,54 \left(\mathrm{т}\right) - сахара. \end{gathered}$$

Ответ: 7,54 т.

1)
Для решения задачи составим пропорцию. Пусть $x$ кг — это масса крахмала, которая содержится в 2,2 кг риса.
Так как зависимость между массой риса и массой содержащегося в нем крахмала прямая, мы можем соотнести известные и неизвестные величины:
3,6 кг риса соответствует 2,7 кг крахмала.
2,2 кг риса соответствует $x$ кг крахмала.

Запишем пропорцию:
$\frac{3,6}{2,2} = \frac{2,7}{x}$

Теперь найдем неизвестный член пропорции $x$. Согласно основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), имеем:
$3,6 \cdot x = 2,2 \cdot 2,7$
$x = \frac{2,2 \cdot 2,7}{3,6}$
$x = \frac{5,94}{3,6}$
$x = 1,65$
Следовательно, в 2,2 кг риса содержится 1,65 кг крахмала.
Ответ: 1,65 кг.

2)
Для решения задачи составим пропорцию. Пусть $y$ т — это масса сахара, которая содержится в 11,7 т сахарной свёклы.
Зависимость между массой сахарной свёклы и массой содержащегося в ней сахара является прямой. Составим соотношение:
4,5 т свёклы соответствует 2,9 т сахара.
11,7 т свёклы соответствует $y$ т сахара.

Запишем пропорцию:
$\frac{4,5}{11,7} = \frac{2,9}{y}$

Найдем неизвестный член пропорции $y$, используя основное свойство пропорции:
$4,5 \cdot y = 11,7 \cdot 2,9$
$y = \frac{11,7 \cdot 2,9}{4,5}$
$y = \frac{33,93}{4,5}$
$y = 7,54$
Таким образом, в 11,7 т сахарной свёклы содержится 7,54 т сахара.
Ответ: 7,54 т.

3.146. Вычислите:

1) 214 · 2³; 2) 315 : 2⁴; 3) 4,42 + (2,5)³; 4) 30 – (3,6)²; 5) 3³ · (113)²; 6) (334)² : (114)³.

3.146

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{4} · 2^3 = \frac{9}{4} · \left(2 · 2 · 2\right) = \\ =\frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \stackrel{2}{\cancel{8}} = 9 · 2 = 18; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 3\frac{1}{5} : 2^4 = \frac{16}{5} : \left(2 · 2 · 2 · 2\right) = \\ = \frac{16}{5} : 16 = \frac{\cancel{16}}{5} · \frac{1}{\cancel{16}} = \frac{1}{5}; \end{gathered}$$

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }4,42 \stackrel{2}{+} {(2,5)}^{\stackrel{1}{3}} = 20,045;$

1.
2.

$\mathbf{4}\mathbf{)} 30 \stackrel{2}{-} {\left(3,6\right)}^{\stackrel{1}{2}} = 17,04$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} 3^{\stackrel{1}{3}} \stackrel{3}{·} {\left(1\frac{1}{3}\right)}^{\stackrel{2}{2}} = 48 \\ 1) 3^3 = 3 · 3 · 3 = 27; \\ 2) {\left(1\frac{1}{3}\right)}^2 = {\left(\frac{4}{3}\right)}^2 = \frac{4}{3} · \frac{4}{3} = \frac{16}{9}; \\ 3) 27 · \frac{16}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{27}}}}{1} · \frac{16}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} =3 · 16 = 48. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(3\frac{3}{4}\right)}^2 : {\left(1\frac{1}{4}\right)}^3 = {\left(\frac{15}{4}\right)}^2 : {\left(\frac{5}{4}\right)}^3 = \\ = \left(\frac{15}{4} · \frac{15}{4}\right) : \left(\frac{5}{4} · \frac{5}{4} · \frac{5}{4}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{\sout{4}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{15}}}}{\sout{4}} · \frac{\sout{4}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{\sout{4}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{4}{5} = \\ = \frac{3}{1} · \frac{3}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{4}{5} = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5}. \end{gathered}$$

1)

Чтобы вычислить значение выражения $2\frac{1}{4} \cdot 2^3$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь и возведем число 2 в третью степень.

Преобразование смешанного числа: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Вычисление степени: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Теперь выполним умножение полученных результатов:

$\frac{9}{4} \cdot 8 = \frac{9 \cdot 8}{4} = 9 \cdot 2 = 18$.

Ответ: 18

2)

Для решения примера $3\frac{1}{5} : 2^4$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь и вычислим значение степени.

Преобразование смешанного числа: $3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$.

Вычисление степени: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Теперь выполним деление:

$\frac{16}{5} : 16 = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{5}$.

Можно представить результат в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2

3)

В выражении $4,42 + (2,5)^3$ первым действием нужно возвести число 2,5 в куб.

$(2,5)^3 = 2,5 \cdot 2,5 \cdot 2,5 = 6,25 \cdot 2,5 = 15,625$.

Теперь выполним сложение:

$4,42 + 15,625 = 4,420 + 15,625 = 20,045$.

Ответ: 20,045

4)

В выражении $30 - (3,6)^2$ сначала вычислим квадрат числа 3,6.

$(3,6)^2 = 3,6 \cdot 3,6 = 12,96$.

Теперь выполним вычитание:

$30 - 12,96 = 30,00 - 12,96 = 17,04$.

Ответ: 17,04

5)

Чтобы вычислить $3^3 \cdot (1\frac{1}{3})^2$, сначала найдем значения каждого множителя.

Вычисление первого множителя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Вычисление второго множителя: сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь $\frac{4}{3}$, а затем возведем в квадрат.

$(1\frac{1}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.

Теперь перемножим результаты:

$27 \cdot \frac{16}{9} = \frac{27}{9} \cdot 16 = 3 \cdot 16 = 48$.

Ответ: 48

6)

Для вычисления $(3\frac{3}{4})^2 : (1\frac{1}{4})^3$ необходимо сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и возвести их в соответствующие степени.

Вычислим делимое: $(3\frac{3}{4})^2 = (\frac{3 \cdot 4 + 3}{4})^2 = (\frac{15}{4})^2 = \frac{15^2}{4^2} = \frac{225}{16}$.

Вычислим делитель: $(1\frac{1}{4})^3 = (\frac{1 \cdot 4 + 1}{4})^3 = (\frac{5}{4})^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{225}{16} : \frac{125}{64} = \frac{225}{16} \cdot \frac{64}{125}$.

Сократим дроби перед умножением: $225 = 9 \cdot 25$, $125 = 5 \cdot 25$, $64 = 4 \cdot 16$.

$\frac{9 \cdot 25}{16} \cdot \frac{4 \cdot 16}{5 \cdot 25} = \frac{9 \cdot \cancel{25}}{\cancel{16}} \cdot \frac{4 \cdot \cancel{16}}{5 \cdot \cancel{25}} = \frac{9 \cdot 4}{5} = \frac{36}{5}$.

Преобразуем результат в десятичную дробь:

$\frac{36}{5} = \frac{36 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{72}{10} = 7,2$.

Ответ: 7,2

3.147. Определите по плану (рис. 3.36) размеры двухкомнатной квартиры. Найдите размеры кухни (К), лоджии (Л) и каждой комнаты (I и II), если масштаб плана 1 : 200.

3.147

Кухня: ширина – 1,2 см; длина – 1,2 см

$\frac{1,2}{1} = \frac{х}{200};$

$х = \frac{1,2 · 200}{1} = 240 \left(\mathrm{см}\right) = 2,4 \left(\mathrm{м}\right)$ - длина и ширина кухни.

Лоджия: ширина – 1,7 см; длина – 0,4 см

$\frac{1,7}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{1,7 · 200}{1} = 340 \left(\mathrm{см}\right) = 3,4 \left(\mathrm{м}\right)$ - ширина лоджии.

$\frac{0,4}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{0,4 · 200}{1} = 80 \left(\mathrm{см}\right) = 0,8 \left(\mathrm{м}\right)$ - длина лоджии.

Комната 1: ширина – 1,6 см; длина – 1 см

$\frac{1,6}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{1,6 · 200}{1} = 320 \left(\mathrm{см}\right) = 3,2 \left(\mathrm{м}\right)$ - ширина комнаты 1.

$\frac{1}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{1 · 200}{1} = 200 \left(\mathrm{см}\right) = 2 \left(\mathrm{м}\right)$ - длина комнаты 1.

$\frac{1,7}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{1,7 · 200}{1} = 340 \left(\mathrm{см}\right) = 3,4 \left(\mathrm{м}\right)$ - ширина комнаты 2.

$\frac{2,1}{1}= \frac{х}{200};$

$х = \frac{2,1 · 200}{1} = 420 \left(\mathrm{см}\right) = 4,2 \left(\mathrm{м}\right)$ - ширина комнаты 2.

Для того чтобы определить реальные размеры помещений, необходимо измерить их длину и ширину на представленном плане, а затем использовать указанный масштаб для пересчета. Масштаб 1:200 означает, что каждый 1 см на плане соответствует 200 см (то есть 2 метрам) в реальности.

Произведем измерения на плане и вычислим фактические размеры для каждого помещения.

Кухня (К)
Измерения на плане показывают, что размеры кухни составляют примерно 2 см в длину и 1,5 см в ширину.
Рассчитаем реальные размеры:
Длина: $2 \text{ см} \times 200 = 400 \text{ см} = 4 \text{ м}$
Ширина: $1.5 \text{ см} \times 200 = 300 \text{ см} = 3 \text{ м}$
Ответ: 4 м × 3 м.

Лоджия (Л)
Размеры лоджии на плане: ширина — 2 см, глубина (длина) — 0,5 см.
Рассчитаем реальные размеры:
Ширина: $2 \text{ см} \times 200 = 400 \text{ см} = 4 \text{ м}$
Глубина: $0.5 \text{ см} \times 200 = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$
Ответ: 4 м × 1 м.

Комната I
Размеры комнаты I на плане: длина — 2 см, ширина — 1 см.
Рассчитаем реальные размеры:
Длина: $2 \text{ см} \times 200 = 400 \text{ см} = 4 \text{ м}$
Ширина: $1 \text{ см} \times 200 = 200 \text{ см} = 2 \text{ м}$
Ответ: 4 м × 2 м.

Комната II
Размеры комнаты II на плане: длина — 2,5 см, ширина — 2 см.
Рассчитаем реальные размеры:
Длина: $2.5 \text{ см} \times 200 = 500 \text{ см} = 5 \text{ м}$
Ширина: $2 \text{ см} \times 200 = 400 \text{ см} = 4 \text{ м}$
Ответ: 5 м × 4 м.

3.148. а) Какие из букв на рисунке 3.37 имеют вертикальную ось симметрии, какие имеют горизонтальную ось симметрии, какие имеют и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии?
б) Какие из нарисованных букв не имеют осей симметрии?
в) Какие буквы имеют центр симметрии?

3.148

а) вертикальную ось симметрии имеют буквы: А, Ж, М, Н, О, П, Т, Ф, Х

горизонтальную ось симметрии имеют буквы: В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х

и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии имеют буквы: Ж, Н, О, Ф, Х

б) не имеют осей симметрии буквы: Б, Г, Д, И, Л, Р

в) имеют центр симметрии буквы: Ж, И, Н, О, Ф, Х

а) Какие из букв на рисунке 3.37 имеют вертикальную ось симметрии, какие имеют горизонтальную ось симметрии, какие имеют и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии?

Проанализируем симметрию каждой буквы из представленного набора, исходя из их начертания.
Вертикальную ось симметрии (воображаемая вертикальная линия, которая делит букву на две зеркально-симметричные части) имеют буквы, чья левая и правая половины являются зеркальным отражением друг друга. К таким буквам относятся: А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х.
Горизонтальную ось симметрии (воображаемая горизонтальная линия, которая делит букву на две зеркально-симметричные части) имеют буквы, чья верхняя и нижняя половины являются зеркальным отражением друг друга. К таким буквам относятся: В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х.
И вертикальную, и горизонтальную оси симметрии одновременно имеют те буквы, которые присутствуют в обоих предыдущих списках. Это буквы: Ж, Н, О, Ф, Х.

Ответ: Вертикальную ось симметрии имеют буквы А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х. Горизонтальную ось симметрии имеют буквы В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х. И вертикальную, и горизонтальную оси симметрии имеют буквы Ж, Н, О, Ф, Х.

б) Какие из нарисованных букв не имеют осей симметрии?

Осей симметрии не имеют те буквы, которые не обладают ни вертикальной, ни горизонтальной симметрией. Чтобы найти их, необходимо из всего набора букв (А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, Ф, Х) исключить все буквы, имеющие хотя бы одну ось симметрии, которые были определены в пункте а).
Таким образом, буквы, не имеющие осей симметрии, это те, которые не вошли ни в один из списков симметричных букв из предыдущего пункта.

Ответ: Б, Г, И, Р.

в) Какие буквы имеют центр симметрии?

Центр симметрии — это такая точка, что при повороте фигуры вокруг нее на $180^\circ$ фигура совмещается сама с собой.
Все буквы, которые имеют и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии, обязательно имеют и центр симметрии, находящийся в точке пересечения этих осей. Из пункта а) мы знаем, что это буквы: Ж, Н, О, Ф, Х.
Кроме них, центральной симметрией обладает буква И. Хотя у нее нет осей симметрии, при повороте на $180^\circ$ вокруг центрального наклонного элемента она совпадает сама с собой.

Ответ: Ж, И, Н, О, Ф, Х.

3.149. Проведите на листе бумаги отрезок АВ и разделите его пополам с помощью линейки. Проверьте правильность результата с помощью перегибания листа бумаги.

3.149

С – середина отрезка АВ

Разделение отрезка АВ пополам с помощью линейки

1. Возьмите лист бумаги, карандаш и линейку со шкалой (например, в сантиметрах). Начертите на листе произвольный отрезок и обозначьте его концы буквами А и В.
2. Приложите линейку к отрезку АВ так, чтобы нулевая отметка (начало шкалы) совпала с точкой А.
3. Определите по шкале линейки длину отрезка АВ, посмотрев, какая отметка совпадает с точкой В. Обозначим эту длину как $L$.
4. Вычислите половину длины отрезка. Для этого разделите полученную длину на 2: $L / 2$.
5. Не сдвигая линейку, найдите на ее шкале отметку, соответствующую вычисленному значению $L/2$. Поставьте в этом месте на отрезке АВ точку и обозначьте ее буквой С.
6. Точка С является искомой серединой отрезка АВ, так как по построению она делит его на два равных отрезка: $AC = CB = \frac{L}{2}$.

Ответ: Чтобы разделить отрезок АВ пополам с помощью линейки, необходимо измерить его длину $L$, вычислить половину этой длины ($L/2$) и отметить на отрезке точку С, находящуюся на этом расстоянии от одного из его концов. Точка С и будет являться серединой отрезка АВ.

Проверка правильности результата с помощью перегибания листа бумаги

1. Возьмите лист бумаги, на котором начерчен отрезок АВ с отмеченной на нем предполагаемой серединой С.
2. Аккуратно согните лист бумаги таким образом, чтобы точка А точно наложилась на точку В.
3. Придерживая концы отрезка совмещенными, тщательно разгладьте бумагу по линии сгиба, чтобы получился четкий след.
4. Разверните лист бумаги. Вы увидите линию сгиба, которая пересекает отрезок АВ.
5. Если деление отрезка было выполнено верно, то линия сгиба пройдет точно через точку С. Это происходит потому, что линия сгиба, полученная таким способом, является серединным перпендикуляром к отрезку АВ, а он по определению проходит через середину отрезка.

Ответ: Для проверки нужно сложить лист бумаги, совместив концы отрезка, точки А и В. Если отмеченная точка С лежит на образовавшейся линии сгиба, то она является серединой отрезка, и результат деления правильный.

3.150. Изобразите рисунок 3.38 в тетради. Постройте фигуру, симметричную данной области относительно прямой m.

3.150

Для построения фигуры, симметричной данной области относительно прямой m, необходимо для каждой вершины (угловой точки) исходной фигуры построить симметричную ей точку. Осью симметрии является прямая m. После этого новые точки нужно соединить линиями в том же порядке, чтобы получить искомую фигуру.

Точка, симметричная другой точке относительно прямой, находится на перпендикуляре к этой прямой на таком же расстоянии от нее, но с противоположной стороны.

Так как в задаче используется клетчатая бумага, а ось симметрии m — горизонтальная линия сетки, построение упрощается:

1. Для каждой вершины исходной фигуры считаем, сколько клеток по вертикали до прямой m.
2. Откладываем такое же количество клеток по вертикали от прямой m, но уже вверх, и ставим новую точку. Это и будет симметричная вершина.
3. Например, нижняя сторона фигуры находится на расстоянии 3 клеток от прямой m. Значит, симметричная ей сторона будет находиться на расстоянии 3 клеток выше прямой m.
4. Верхняя часть исходной фигуры находится на расстоянии 1 клетки от прямой m. Ее отражение будет находиться на 1 клетку выше прямой m.
5. Проделав это для всех вершин и соединив их, мы получим искомую симметричную фигуру.

Если ввести систему координат, где прямая m совпадает с прямой $y = c$, то точка с координатами $(x, y)$ отразится в точку с координатами $(x, 2c - y)$.

Ответ:
На рисунке ниже показана исходная фигура (розовая) и построенная симметричная ей фигура (голубая) относительно прямой m (зеленая).

3.151. Начертите прямоугольник ABCD и постройте с помощью линейки его оси симметрии.

3.151

Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные части, зеркально отражающие друг друга. У прямоугольника, который не является квадратом, есть две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон прямоугольника. Для построения осей симметрии прямоугольника $ABCD$ с помощью линейки (с делениями) необходимо выполнить следующие шаги.

С помощью линейки и угольника (или на клетчатой бумаге) начертим произвольный прямоугольник $ABCD$. Обозначим его вершины.

Первая ось симметрии соединяет середины одной пары противоположных сторон, например, сторон $AD$ и $BC$.

1. Измеряем линейкой длину стороны $AD$.
2. Находим середину этого отрезка. Для этого делим его длину пополам. Отмечаем эту точку и назовем ее $M$. Точка $M$ является серединой стороны $AD$.
3. Аналогично измеряем длину стороны $BC$ (она равна длине $AD$).
4. Находим ее середину, разделив длину на два, и отмечаем точку $N$. Точка $N$ является серединой стороны $BC$.
5. С помощью линейки проводим прямую через точки $M$ и $N$. Прямая $MN$ — это первая ось симметрии прямоугольника $ABCD$.

Вторая ось симметрии соединяет середины другой пары противоположных сторон, $AB$ и $CD$.

1. Измеряем линейкой длину стороны $AB$.
2. Находим ее середину, разделив длину на два. Отмечаем эту точку и назовем ее $P$.
3. Аналогично измеряем длину стороны $CD$ и находим ее середину, точку $Q$.
4. С помощью линейки проводим прямую через точки $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ — это вторая ось симметрии прямоугольника $ABCD$.

В результате мы получаем прямоугольник с двумя перпендикулярными осями симметрии, которые пересекаются в центре прямоугольника.

Ответ:

Для построения осей симметрии прямоугольника $ABCD$ необходимо найти середины его противоположных сторон. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно, а $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$. Тогда прямые $MN$ и $PQ$ являются осями симметрии прямоугольника. Построение выполняется путем измерения сторон линейкой, нахождения их середин и соединения соответствующих точек.

3.152. Вырежьте какую–либо фигуру из сложенного вдвое листа бумаги. Разверните лист и рассмотрите фигуру, симметричную относительно линии сгиба.

3.152

(практическая работа)

фигура получится симметричной относительно сгиба листа

Это практическое задание, которое наглядно демонстрирует понятие осевой симметрии. Для его выполнения необходимо проделать следующие шаги:

1. Возьмите лист бумаги и сложите его ровно пополам. Линия сгиба будет служить осью симметрии.
2. На сложенном листе бумаги нарисуйте любую фигуру (точнее, ее половину), так чтобы часть ее контура располагалась на линии сгиба.
3. Не разворачивая лист, аккуратно вырежьте фигуру по нарисованным линиям.
4. Разверните вырезанную часть бумаги.

Анализ результата

Получившаяся фигура является симметричной относительно линии сгиба. Эта линия называется осью симметрии. Осевая симметрия означает, что для каждой точки $A$ на одной стороне фигуры существует соответствующая точка $A'$ на другой стороне, такая что линия сгиба (ось симметрии $l$) является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это значит, что отрезок $AA'$ перпендикулярен оси $l$ и делится ею на две равные части.

Примеры:

• Если вырезать половину сердца, примыкающую к сгибу, то получится целое симметричное сердце.
• Если вырезать половину бабочки, то получится полная фигура бабочки, симметричная относительно туловища (линии сгиба).
• Если из бумаги, сложенной несколько раз, вырезать узоры, можно получить снежинку, которая будет иметь несколько осей симметрии.

Ответ: В результате выполнения задания получается фигура, обладающая свойством осевой симметрии. Линия сгиба листа бумаги является осью симметрии для этой фигуры. Это значит, что фигура состоит из двух зеркально одинаковых половин, расположенных по обе стороны от линии сгиба.

3.153. Симметричны ли фигуры, изображённые на рисунке 3.39, относительно данной прямой?

3.153

а) фигуры симметричны относительно прямой m

б) фигуры симметричны относительно прямой k

а Две фигуры называются симметричными относительно прямой (оси симметрии), если при мысленном перегибании плоскости по этой прямой фигуры полностью совмещаются. Это означает, что для каждой точки одной фигуры соответствующая ей симметричная точка относительно оси принадлежит другой фигуре.
Рассмотрим фигуры, изображенные на рисунке, и ось симметрии m. Основные части фигур (нижний прямоугольник, вертикальная стойка и треугольник) симметричны друг другу относительно прямой m. Однако, если мы рассмотрим отрезок с кругом на конце, выходящий из треугольника, то увидим нарушение симметрии. В левой фигуре этот элемент направлен вверх и влево, то есть в сторону от оси симметрии. При осевой симметрии его отражение в правой фигуре должно быть направлено вверх и вправо, также в сторону от оси. На рисунке же в правой фигуре этот элемент направлен вверх и влево, то есть к оси симметрии. Так как не все точки фигур симметричны, фигуры в целом не являются симметричными относительно прямой m.
Ответ: нет.

б Рассмотрим две фигуры (ломаные линии), расположенные сверху и снизу от горизонтальной прямой k. Прямая k является осью симметрии.
Чтобы проверить симметричность, нужно убедиться, что каждая точка нижней фигуры является отражением соответствующей точки верхней фигуры относительно прямой k. Это значит, что если из любой точки верхней фигуры опустить перпендикуляр на прямую k и продлить его на такое же расстояние вниз, то мы попадем в точку нижней фигуры.
Визуально можно заметить, что "пики" (вершины треугольников) верхней ломаной, направленные вверх, соответствуют "впадинам" (вершинам треугольников) нижней ломаной, направленным вниз. Расстояния от этих соответствующих вершин до прямой k одинаковы. Горизонтальные участки ломаных также симметрично отражаются друг в друга. Таким образом, если перегнуть рисунок по прямой k, верхняя и нижняя фигуры совпадут. Следовательно, данные фигуры симметричны относительно прямой k.
Ответ: да.