Страница 150, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

По каким формулам находят длину окружности?

Пропорциональна ли длина окружности её радиусу?

Чему равно округление числа π до сотых?

По какой формуле находят площадь круга?

Пропорциональна ли площадь круга его радиусу?

Что называется радиусом шара; диаметром шара?

Что такое сфера?

Каким свойством обладают все точки сферы по отношению к её центру?

Какие фигуры получаются в сечении шара плоскостью?

23. Длина окружности и площадь круга. Шар

Вопросы к параграфу

• С = 2πR и С = πd

• Длина окружности пропорциональна ее радиусу.

• π ≈ 3,14

• S = πr²

• Площадь круга не пропорциональна его радиусу.

• Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на сфере, называют радиусом шара.
  Отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки сферы, называют диаметром шара.

• Сфера – это поверхность шара.

• Все точки сферы равноудалены от центра сферы.

• В сечении шара плоскостью получается круг.

По каким формулам находят длину окружности?

Длину окружности $C$ находят по одной из двух формул в зависимости от того, какая величина известна — радиус $r$ или диаметр $d$.

• Если известен радиус $r$, используется формула: $C = 2\pi r$
• Если известен диаметр $d$, используется формула: $C = \pi d$

Эти формулы эквивалентны, так как диаметр окружности равен двум её радиусам ($d = 2r$).

Ответ: Длину окружности находят по формулам $C = 2\pi r$ или $C = \pi d$.

Пропорциональна ли длина окружности её радиусу?

Да, длина окружности прямо пропорциональна её радиусу. Это следует из формулы $C = 2\pi r$, где $C$ — длина окружности, а $r$ — её радиус. Величина $2\pi$ является постоянным коэффициентом. Это означает, что при увеличении радиуса в несколько раз, длина окружности увеличится во столько же раз.

Ответ: Да, пропорциональна. Коэффициент пропорциональности равен $2\pi$.

Чему равно округление числа π до сотых?

Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159265...$. Для округления до сотых необходимо посмотреть на третью цифру после запятой (разряд тысячных). В числе $\pi$ это цифра 1. Поскольку 1 меньше 5, мы не увеличиваем предыдущую цифру (сотые) и просто отбрасываем все последующие цифры.

Ответ: $3,14$.

По какой формуле находят площадь круга?

Площадь круга $S$ находят по формуле, связывающей её с радиусом круга $r$: $S = \pi r^2$. То есть, площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат его радиуса.

Ответ: Площадь круга находят по формуле $S = \pi r^2$.

Пропорциональна ли площадь круга его радиусу?

Нет, площадь круга не пропорциональна его радиусу. Как видно из формулы $S = \pi r^2$, площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Это квадратичная зависимость. Например, если увеличить радиус в 3 раза, площадь увеличится в $3^2=9$ раз.

Ответ: Нет, не пропорциональна. Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса.

Что называется радиусом шара; диаметром шара?

Радиусом шара называется отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности (сфере). Также радиусом называют длину этого отрезка.
Диаметром шара называется отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр. Длина диаметра равна двум радиусам ($d=2r$).

Ответ: Радиус шара – это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Диаметр шара – это отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через его центр.

Что такое сфера?

Сфера — это замкнутая поверхность, все точки которой в трёхмерном пространстве находятся на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Сфера является границей (поверхностью) шара. Важно не путать сферу (поверхность) и шар (тело, ограниченное сферой).

Ответ: Сфера — это поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой центром.

Каким свойством обладают все точки сферы по отношению к её центру?

Все точки, принадлежащие сфере, обладают фундаментальным свойством: они равноудалены от центра сферы. Это расстояние от любой точки сферы до её центра постоянно и равно радиусу сферы.

Ответ: Все точки сферы равноудалены (находятся на одинаковом расстоянии) от её центра.

Какие фигуры получаются в сечении шара плоскостью?

При пересечении (сечении) шара любой плоскостью всегда образуется круг. Если плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается так называемый большой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Если плоскость не проходит через центр, то радиус круга в сечении будет меньше радиуса шара.

Ответ: В сечении шара плоскостью получается круг.

3.162. Найдите длину окружности, если её диаметр равен 21 см; 3,5 см; 10,5 дм. Число π считайте равным 317.

3.162

$d = 21 см; 3,5 см; 10,5 дм. \pi \approx 3 \frac{1}{7}. С = \pi d.$

$С = 3\frac{1}{7} · 21 = \frac{22}{7} · 21 = 22 · 3 = 66 \mathrm{см};$

$С = 3\frac{1}{7} · 3,5 = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} =\frac{11 }{1} · \frac{\cancel{5}}{\cancel{5}} = 11 \mathrm{см};$

$С = 3\frac{1}{7} · 10,5 = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{105}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} =\frac{11 }{1} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = 33 \mathrm{см};$

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула $C = \pi d$, где $d$ — диаметр. В данной задаче принимаем значение числа $\pi$ равным $3\frac{1}{7}$.

Для удобства вычислений представим число $\pi$ в виде неправильной дроби: $\pi = 3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$.

21 см

Подставим значения диаметра и числа $\pi$ в формулу:
$C = \frac{22}{7} \cdot 21$
Сокращаем дробь:
$C = 22 \cdot \frac{21}{7} = 22 \cdot 3 = 66$ см.
Ответ: 66 см.

3,5 см

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $3,5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
Подставим значения в формулу:
$C = \frac{22}{7} \cdot \frac{7}{2}$
Сокращаем дроби:
$C = \frac{22 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{22}{2} = 11$ см.
Ответ: 11 см.

10,5 дм

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $10,5 = 10\frac{5}{10} = 10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.
Подставим значения в формулу:
$C = \frac{22}{7} \cdot \frac{21}{2}$
Сокращаем дроби:
$C = \frac{22}{2} \cdot \frac{21}{7} = 11 \cdot 3 = 33$ дм.
Ответ: 33 дм.

3.163. Диаметр колеса детского велосипеда равен 30 см. Найдите длину окружности этого колеса. Число π округлите до десятых.

3.163

d = 30 см; π≈3,1. С = πd.

С = 3,1 ∙ 30 = 93 (см)

Ответ: 93 см.

Для нахождения длины окружности колеса используется формула, связывающая длину окружности ($C$) и её диаметр ($d$):

$C = \pi d$

По условию задачи, диаметр колеса $d = 30$ см.

Также по условию, число $\pi$ нужно округлить до десятых. Стандартное значение числа $\pi$ составляет примерно 3,14159... При округлении до десятых мы смотрим на цифру в разряде сотых. Если она меньше 5, то цифра в разряде десятых не меняется. В данном случае в разряде сотых стоит цифра 4, поэтому:

$\pi \approx 3.1$

Теперь подставим значения диаметра и округленного числа $\pi$ в формулу:

$C \approx 3.1 \times 30$

$C \approx 93$ см

Таким образом, длина окружности колеса составляет примерно 93 см.

Ответ: 93 см.

3.164. Найдите длину окружности, диаметр которой равен: 32 дм; 5,6 см; 30,5 мм. Число π округлите до сотых.

3.164

d = 32 дм; 5,6 см; 30,5 мм. π≈3,14. С = πd.

С = 3,14 • 32 = 100,48 дм

С = 3,14 • 5,6 = 17,584 см

С = 3,14 • 30,5 = 95,77 мм

Для нахождения длины окружности (обозначим её $C$) используется формула, связывающая длину окружности с её диаметром ($d$):

$C = \pi d$

Согласно условию задачи, число $\pi$ необходимо округлить до сотых. Таким образом, для расчетов мы будем использовать значение $\pi \approx 3,14$.

32 дм

Найдём длину окружности, диаметр которой равен 32 дм. Подставим значение диаметра в формулу:

$C = 3,14 \cdot 32 = 100,48$ дм.

Ответ: 100,48 дм.

5,6 см

Найдём длину окружности, диаметр которой равен 5,6 см. Подставим значение диаметра в формулу:

$C = 3,14 \cdot 5,6 = 17,584$ см.

Ответ: 17,584 см.

30,5 мм

Найдём длину окружности, диаметр которой равен 30,5 мм. Подставим значение диаметра в формулу:

$C = 3,14 \cdot 30,5 = 95,77$ мм.

Ответ: 95,77 мм.

3.165. Чему равна длина С окружности, радиус которой равен: 1,68 см; 4,76 дм? Число π считайте равным 227.

3.165

r = 1,68 см; 4,76 дм. π ≈ $\frac{22}{7}.$ С = π2r.

$$\begin{gathered} С = 2 · \frac{22}{7} · 1,68 = \frac{2}{1} · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{24}{\cancel{168}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\bcancel{100}}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{1} · \frac{11}{1} · \frac{24}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{50}}}}=\frac{11}{1} · \frac{24}{25} = \frac{264}{25}= 10\frac{14}{25} \mathrm{см} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} С = 2 · \frac{22}{7} · 4,76= \frac{2}{1} · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\bcancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{68}{\cancel{476}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\bcancel{100}}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{1} · \frac{11}{1} · \frac{68}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{50}}}}=\frac{11}{1} · \frac{68}{25} = \frac{748}{25}= 29\frac{23}{25} \mathrm{см} \end{gathered}$$

Для вычисления длины окружности C используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности. В данной задаче нам предложено использовать значение числа $\pi$, равное $\frac{22}{7}$.

1,68 см

Найдем длину окружности с радиусом $r = 1,68$ см.

Подставим значения в формулу:

$C = 2 \times \pi \times r = 2 \times \frac{22}{7} \times 1,68$

Чтобы упростить вычисления, представим десятичную дробь $1,68$ как обыкновенную: $1,68 = \frac{168}{100}$.

$C = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{168}{100}$

Сократим дробь, разделив 168 на 7:

$168 \div 7 = 24$

Теперь формула выглядит так:

$C = 2 \times 22 \times \frac{24}{100} = 44 \times \frac{24}{100} = \frac{1056}{100} = 10,56$ см.

Ответ: 10,56 см.

4,76 дм

Найдем длину окружности с радиусом $r = 4,76$ дм.

Подставим значения в формулу:

$C = 2 \times \pi \times r = 2 \times \frac{22}{7} \times 4,76$

Представим десятичную дробь $4,76$ как обыкновенную: $4,76 = \frac{476}{100}$.

$C = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{476}{100}$

Сократим дробь, разделив 476 на 7:

$476 \div 7 = 68$

Теперь формула выглядит так:

$C = 2 \times 22 \times \frac{68}{100} = 44 \times \frac{68}{100} = \frac{2992}{100} = 29,92$ дм.

Ответ: 29,92 дм.