Страница 153, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.185. Вычислите длину окружности, если её радиус равен: 24 см; 0,31 дм; 147 км. Принять π = 3,14.

3.185

$\mathrm{r} = 24 \mathrm{см}; 0,31 \mathrm{дм}; 147 \mathrm{км}. \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{С} = \mathrm{\pi }2\mathrm{r}.$

$\mathrm{С} = 3,14 · 2 · 24 = 6,28 · 24 = 150,72 \left(\mathrm{см}\right)$

$\mathrm{С} = 2 · 3,14 · 0,31 = 6,28 · 0,31 = 1,9468 \left(\mathrm{дм}\right)$

$\mathrm{С} = 2 · 3,14 · 147 = 6,28 · 147 = 923,16 \left(\mathrm{км}\right)$

Для вычисления длины окружности (C) используется формула $C = 2 \pi r$, где $r$ – это радиус окружности. Согласно условию задачи, принимаем значение $\pi = 3,14$.

24 см
Подставляем значение радиуса $r = 24$ см в формулу:
$C = 2 \times 3,14 \times 24$ см = $6,28 \times 24$ см = $150,72$ см.
Ответ: $150,72$ см.

0,31 дм
Подставляем значение радиуса $r = 0,31$ дм в формулу:
$C = 2 \times 3,14 \times 0,31$ дм = $6,28 \times 0,31$ дм = $1,9468$ дм.
Ответ: $1,9468$ дм.

147 км
Подставляем значение радиуса $r = 147$ км в формулу:
$C = 2 \times 3,14 \times 147$ км = $6,28 \times 147$ км = $923,16$ км.
Ответ: $923,16$ км.

3.186. Радиус окружности увеличили на 2 см. На сколько увеличится длина окружности?

3.186

r cм – радиус окружности, С = 2πr – длина окружности.

(r + 2) cм – стал диаметр окружности, С₁ = 2π(r + 2) – стала длина окружности

С₁ – С = 2π(r + 2) – 2πr = 2πr + 4π – 2πr = 4π.

Ответ: увеличится на 4π.

Длина окружности ($C$) связана с ее радиусом ($r$) формулой $C = 2 \pi r$.

Пусть первоначальный радиус окружности был $r_1$. Тогда ее первоначальная длина составляла $C_1 = 2 \pi r_1$.

После того как радиус увеличили на 2 см, новый радиус стал $r_2 = r_1 + 2$. Новая длина окружности $C_2$ будет равна:
$C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 + 2)$

Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, необходимо найти разность между новой и старой длинами:
$\Delta C = C_2 - C_1$
$\Delta C = 2 \pi (r_1 + 2) - 2 \pi r_1$
Раскроем скобки в выражении:
$\Delta C = 2 \pi r_1 + 2 \pi \cdot 2 - 2 \pi r_1$
$\Delta C = 2 \pi r_1 + 4 \pi - 2 \pi r_1$
Упростив выражение, получим:
$\Delta C = 4 \pi$ см.

Ответ: длина окружности увеличится на $4 \pi$ см.

3.187. За 2,5 мин колесо тепловоза сделало 750 оборотов. Найдите скорость тепловоза, если диаметр его колеса равен 120 см. Округлите ответ до десятых.

3.187

$\mathrm{t} = 2,5 \mathrm{мин}. \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{d} = 120 \mathrm{см} = 1,2 \mathrm{м}. \mathrm{С} = \mathrm{\pi d}.$

Оборотов – 750

v - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }750 : 2,5 = 7500 : 25 = 300 (\mathrm{об}/\mathrm{мин}).$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }С = 3,14 · 1,2 = 3,768$(м) – за 1 оборот;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }3,768 · 300 = 1130,4$(м/мин) – скорость тепловоза

Ответ: 1130,4 м/мин.

Для решения задачи необходимо найти скорость тепловоза. Скорость — это отношение пройденного пути ко времени. Сначала найдем путь, который прошел тепловоз, а затем разделим его на затраченное время. Принято измерять скорость поездов в километрах в час (км/ч), поэтому итоговый ответ представим в этих единицах.

1. Вычисление длины окружности колеса

Длина окружности колеса ($C$) — это расстояние, которое тепловоз проходит за один полный оборот колеса. Она вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.

Сначала переведем диаметр из сантиметров в метры для удобства дальнейших расчетов:

$d = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$

Теперь вычислим длину окружности колеса:

$C = \pi \cdot 1.2 = 1.2\pi \text{ м}$

2. Вычисление общего пройденного расстояния

Общий путь ($S$), пройденный тепловозом, равен произведению длины окружности колеса ($C$) на количество сделанных оборотов ($N$).

По условию, колесо сделало $N = 750$ оборотов.

$S = C \cdot N = 1.2\pi \cdot 750 = 900\pi \text{ м}$

3. Вычисление скорости тепловоза

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = S/t$. Переведем время из минут в секунды:

$t = 2.5 \text{ мин} = 2.5 \cdot 60 = 150 \text{ с}$

Найдем скорость в метрах в секунду (м/с):

$v = \frac{S}{t} = \frac{900\pi \text{ м}}{150 \text{ с}} = 6\pi \text{ м/с}$

4. Перевод скорости в км/ч и округление

Чтобы перевести скорость из м/с в км/ч, необходимо умножить значение на 3,6 (так как в 1 км — 1000 м, а в 1 часе — 3600 с, то $3600/1000 = 3.6$).

$v = 6\pi \text{ м/с} \cdot 3.6 = 21.6\pi \text{ км/ч}$

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:

$v \approx 21.6 \cdot 3.14159 \approx 67.8584... \text{ км/ч}$

Согласно условию, округлим результат до десятых. Так как первая отбрасываемая цифра (5) больше или равна 5, то предыдущую цифру (8) увеличиваем на единицу.

$v \approx 67.9 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость тепловоза примерно равна 67,9 км/ч.

3.188. Выполните измерения и вычислите площадь каждой закрашенной фигуры (рис. 3.54).

3.188

а) $\mathrm{r} = 1,2 \mathrm{см}; \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2; \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

$1) \mathrm{S} = 3,14 · 1,2^2 = 3,14 · 1,2 · 1,2 =$

$= 3,14 · 1,44 = 4,5216$ (см²) – площадь полного круга;

$2) 4,5216 : 4 = 1,1304$(см²) – площадь фигуры

Ответ: 1,1304 см²

б) $\mathrm{r} = 1,2 \mathrm{см}; \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2 ; \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{а} = 0,7 \mathrm{см}$

$1) \mathrm{S} = 3,14 · 1,2^2 \approx 3,14 · 1,44 \approx 4,5216$(см²) – площадь круга;

$2) \mathrm{S} = 0,7 · 0,7 = 0,49$(см²) – площадь одного квадрата;

$3) 5 · 0,49 = 2,45$(см²) – площадь не закрашенной части;

$4) 4,5216 – 2,45 = 2,0716$(см²) – площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 2,0716 см².

а

Закрашенная фигура представляет собой сектор круга с углом 90°, то есть четверть круга. Для вычисления площади этой фигуры необходимо измерить ее радиус, как указано в условии задачи.

1. С помощью линейки измерим радиус r сектора. Радиусом является любая из двух прямых сторон фигуры, образующих прямой угол.

2. Предположим, что в результате измерения мы получили значение радиуса $r = 2$ см. (Важно: ваш результат может отличаться в зависимости от масштаба изображения в учебнике или на экране).

3. Площадь целого круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.

4. Поскольку данная фигура — это четверть круга, ее площадь $S_a$ равна одной четвертой площади всего круга: $S_a = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \pi r^2$.

5. Подставим измеренное значение радиуса в формулу, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$: $S_a = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (2 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 4 \text{ см}^2 = 3.14 \text{ см}^2$.

Ответ: при измеренном радиусе 2 см площадь фигуры составляет примерно 3,14 см².

б

Закрашенная фигура — это круг, из которого удалена центральная часть в форме креста. Чтобы найти площадь закрашенной области, необходимо из площади всего круга вычесть площадь креста.

1. С помощью линейки измерим диаметр круга D. Допустим, измерение показало, что $D = 3$ см. Следовательно, радиус круга $R = D/2 = 1,5$ см.

2. Белый крест состоит из пяти одинаковых квадратов. Из рисунка видно, что диаметр круга совпадает с шириной (и высотой) воображаемого большего квадрата, в который вписан крест. Эта ширина равна трем сторонам малого квадрата. Обозначим сторону малого квадрата как a. Таким образом, $D = 3a$.

3. Найдем длину стороны малого квадрата: $a = D/3 = 3 \text{ см} / 3 = 1$ см.

4. Вычислим площадь всего круга $S_{круга}$ по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Примем $\pi \approx 3.14$: $S_{круга} \approx 3.14 \times (1,5 \text{ см})^2 = 3.14 \times 2.25 \text{ см}^2 = 7.065 \text{ см}^2$.

5. Вычислим площадь креста $S_{креста}$. Он состоит из 5 квадратов со стороной $a = 1$ см. Площадь одного такого квадрата $S_{квадрата} = a^2 = (1 \text{ см})^2 = 1 \text{ см}^2$. Площадь всего креста $S_{креста} = 5 \times S_{квадрата} = 5 \times 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.

6. Теперь найдем площадь закрашенной фигуры $S_б$ как разность площадей круга и креста: $S_б = S_{круга} - S_{креста} \approx 7.065 \text{ см}^2 - 5 \text{ см}^2 = 2.065 \text{ см}^2$.

Ответ: при измеренном диаметре круга 3 см площадь закрашенной фигуры составляет примерно 2,065 см².

3.189. Длина экватора Сатурна приближённо равна 378,7 тыс. км. Чему равен радиус Сатурна? (Результат округлите до сотен километров.)

3.189

$\mathrm{С} = 378,7 \mathrm{тыс}.\mathrm{км}. \mathrm{r} = \frac{\mathrm{C}}{2\mathrm{\pi }}; \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

$r =\frac{378,7}{2 · 3,14} = \frac{378,7}{6,28} = \frac{37870}{628} \approx 60,30 \mathrm{тыс}. \mathrm{км}.$

Ответ: 60,30 тыс.км.

Для нахождения радиуса Сатурна, зная длину его экватора, воспользуемся формулой длины окружности:

$C = 2 \pi R$

где $C$ – это длина экватора (окружности), $R$ – это радиус планеты, а $\pi$ – математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Из этой формулы выразим радиус $R$:

$R = \frac{C}{2 \pi}$

По условию задачи, длина экватора Сатурна $C$ составляет 378,7 тыс. км. Переведем это значение в километры:

$C = 378,7 \times 1000 = 378700$ км

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса и выполним вычисление:

$R = \frac{378700}{2 \pi} \approx \frac{378700}{2 \times 3,14159} \approx \frac{378700}{6,28318} \approx 60275,45$ км

В задаче требуется округлить результат до сотен километров. В числе 60275,45 цифра в разряде сотен равна 2. Следующая за ней цифра (в разряде десятков) равна 7. Так как 7 ≥ 5, то разряд сотен увеличиваем на единицу, а все последующие разряды обнуляем.

$R \approx 60300$ км

Ответ: радиус Сатурна приближенно равен 60300 км.

3.190. Экваториальный радиус Земли R приближённо равен 6400 км, а радиус г окружности параллели на широте 60º — 3200 км. На сколько длина окружности экватора больше длины окружности шестидесятой параллели (рис. 3.55)?

3.190

$\mathrm{R} \approx 6400 \mathrm{км}, \mathrm{r} = 3200 \mathrm{км}; \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi R}.$

${\mathrm{С}}_1= 2\mathrm{\pi R} = 2 · 3,14 · 6400 = 6,28 · 6400 = 40192$ (км) – длина окружности экватора;

${\mathrm{С}}_2 = 2\mathrm{\pi r} = 2 · 3,14 · 3200 = 6,28 · 3200 = 20096$ (км) – длина окружности параллели.

${С}_1 – {С}_2 = 40192 – 20096 = 20096$(км) – больше длина окружности
экватора

Ответ: на 20096 км.

Для того чтобы определить, на сколько длина окружности экватора больше длины окружности шестидесятой параллели, необходимо вычислить обе длины и найти их разность.

Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус окружности.

1. Вычисление длины окружности экватора ($C_{экв}$)

Экваториальный радиус Земли, обозначенный в условии как $R$, равен 6400 км. Подставим это значение в формулу:

$C_{экв} = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 6400 = 12800 \pi$ км.

2. Вычисление длины окружности шестидесятой параллели ($C_{60}$)

Радиус окружности на широте 60°, обозначенный как $r$, равен 3200 км. Подставим это значение в формулу:

$C_{60} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 3200 = 6400 \pi$ км.

3. Нахождение разности длин окружностей

Чтобы найти, на сколько длина экватора больше длины шестидесятой параллели, вычтем из длины экватора длину параллели:

$\Delta C = C_{экв} - C_{60} = 12800 \pi - 6400 \pi = 6400 \pi$ км.

Этот же результат можно получить другим способом, сразу вычислив разность радиусов:

$\Delta C = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r) = 2 \pi (6400 - 3200) = 2 \pi \cdot 3200 = 6400 \pi$ км.

Для получения численного ответа, можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$\Delta C \approx 6400 \cdot 3,14 = 20096$ км.

Ответ: длина окружности экватора больше длины окружности шестидесятой параллели на $6400 \pi$ км (что приблизительно составляет 20096 км).

3.191. Найдите площадь 38 круга, радиус которого равен 12 см.

3.191

$\mathrm{r} = 12 \mathrm{см}; \mathrm{\pi }\approx 3,14; \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2.$

$\mathrm{S} = 3,14 · {12}^2 = 3,14 · 144 = 452,16 \left({\mathrm{см}}^2\right);$

$\frac{3}{8} · 452,16 = \frac{3 · 452,16}{8} = \frac{1356,48}{8} = 169,56$ (см²) – площадь $\frac{3}{8}$ круга.

Ответ: 169,56 см²

Чтобы найти площадь $\frac{3}{8}$ круга, необходимо сначала вычислить площадь всего круга по известному радиусу, а затем найти требуемую долю от этой площади.

1. Находим площадь всего круга. Формула площади круга: $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга.
В условии задачи дан радиус $r = 12$ см.
Подставляем это значение в формулу:
$S_{круга} = \pi \cdot (12 \text{ см})^2 = \pi \cdot 144 \text{ см}^2 = 144\pi \text{ см}^2$.

2. Теперь находим площадь части круга, которая составляет $\frac{3}{8}$ от общей площади. Для этого умножаем площадь всего круга на эту дробь:
$S_{части} = \frac{3}{8} \cdot S_{круга} = \frac{3}{8} \cdot 144\pi \text{ см}^2$.

3. Выполняем вычисление:
$S_{части} = \frac{3 \cdot 144}{8} \pi \text{ см}^2$.
Сокращаем дробь: $144$ делится на $8$ без остатка ($144 \div 8 = 18$).
$S_{части} = 3 \cdot 18\pi \text{ см}^2 = 54\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $54\pi \text{ см}^2$.

3.192. Для перевозки зерна по суше используют вагоны–зерновозы и автозерновозы. Автозерновоз вмещает в 3,54 раза меньше зерна, чем вагон–зерновоз. Сколько тонн зерна вмещают автозерновоз и вагон–зерновоз, если в вагоне–зерновозе на 50,8 т зерна больше?

3.192

Пусть х т. – вмещает автозерновоз, тогда 3,54х т. – вмещает вагон-зерновоз. Зная, что в вагоне – зерновозе на 50, 8 т. больше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 3,54х – х = 50,8; \\ 2,54х = 50,8; \\ х = 50,8 : 2,54; \\ х = 5080 : 254; \end{gathered}$$

х = 20 (т) – зерна вмещает автозерновоз;

$1) 20 + 50,8 = 70,8$(т) – зерна вмещает вагон – зерновоз.

Ответ: 20 т и 70,8 т.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $y$ — это вместимость автозерновоза в тоннах, а $x$ — вместимость вагона-зерновоза в тоннах.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Автозерновоз вмещает в 3,54 раза меньше зерна, чем вагон-зерновоз. Это можно записать в виде уравнения: $x = 3,54y$.

2. Вагон-зерновоз вмещает на 50,8 т зерна больше, чем автозерновоз. Это можно записать в виде уравнения: $x = y + 50,8$.

Поскольку левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти вместимость автозерновоза ($y$):

$3,54y = y + 50,8$

Перенесем $y$ в левую часть уравнения:

$3,54y - y = 50,8$

$2,54y = 50,8$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{50,8}{2,54} = 20$

Автозерновоз

Вместимость автозерновоза составляет 20 тонн.

Ответ: 20 т.

Теперь, зная вместимость автозерновоза, найдем вместимость вагона-зерновоза ($x$), подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 20 + 50,8$

$x = 70,8$

Вагон-зерновоз

Вместимость вагона-зерновоза составляет 70,8 тонн.

Ответ: 70,8 т.

3.193. Выполните действия:

а) (4,8 : 6 + 225 : 1,6) · 5,6;

б) (426,3 : 0,21 – 10) · 0,4 – (41,7 · 1,71 + 48,693).

3.193

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(4,8\stackrel{1}{ :} 6 \stackrel{3}{+} 2\frac{2}{5} \stackrel{2}{:} 1,6) \stackrel{4}{·} 5,6 = 12,88$

$$\begin{gathered} 1) 4,8 : 6 = 0,8; \\ 2) 2\frac{2}{5} : 1\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{12}{5} : 1\frac{3}{5} = \frac{12}{5} : \frac{8}{5} = \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{12}}}}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} =\frac{3}{2} = 1,5; \\ 3) 0,8 + 1,5 = 2,3; \end{gathered}$$

4)

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(426,3 \stackrel{1}{: }0,21 \stackrel{2}{–} 10) \stackrel{5}{· }0,4 \stackrel{6}{–} (41,7 \stackrel{3}{·} 1,71 \stackrel{4}{+} 48,693) = 688$

1.	2. 2030 - 10 = 2020
3.	4.
5.	6.

а) $(4,8 : 6 + 2\frac{2}{5} : 1,6) \cdot 5,6$

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения: сначала действия в скобках (деление, затем сложение), а после — умножение.

1. Выполним первое деление в скобках:
$4,8 : 6 = 0,8$

2. Выполним второе деление в скобках. Для этого преобразуем смешанную дробь и десятичную дробь в десятичные дроби:
$2\frac{2}{5} = 2 + \frac{2}{5} = 2 + 0,4 = 2,4$
Теперь выполним деление:
$2,4 : 1,6 = 24 : 16 = 1,5$

3. Выполним сложение результатов, полученных в скобках:
$0,8 + 1,5 = 2,3$

4. Теперь умножим результат из скобок на $5,6$:
$2,3 \cdot 5,6 = 12,88$

Ответ: 12,88.

б) $(426,3 : 0,21 - 10) \cdot 0,4 - (41,7 \cdot 1,71 + 48,693)$

Решим данный пример по действиям. Сначала выполняются действия в каждой из скобок, затем умножение и, наконец, вычитание.

1. Выполним деление в первых скобках:
$426,3 : 0,21 = 42630 : 21 = 2030$

2. Выполним вычитание в первых скобках:
$2030 - 10 = 2020$

3. Выполним умножение во вторых скобках:
$41,7 \cdot 1,71 = 71,307$

4. Выполним сложение во вторых скобках:
$71,307 + 48,693 = 120$

5. Умножим результат первых скобок на $0,4$:
$2020 \cdot 0,4 = 808$

6. Выполним финальное вычитание:
$808 - 120 = 688$

Ответ: 688.

Выполните следующие задания, округлив число π до целых.

1. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен 15 мм.

Проверочная работа № 1

1.

d = 15 мм, π ≈ 3; r = d :2.

r ≈ 15 : 2 ≈ 7,5 мм.

1 Радиус окружности (обозначим его как $r$) равен половине ее диаметра (обозначим его как $d$). Эта зависимость выражается следующей математической формулой:
$r = \frac{d}{2}$
Согласно условию задачи, диаметр окружности составляет 15 мм. Чтобы найти радиус, необходимо подставить это значение в формулу:
$r = \frac{15 \text{ мм}}{2} = 7,5 \text{ мм}$
Обратите внимание, что указание округлить число $\pi$ до целых в данном задании не требуется, так как для нахождения радиуса по известному диаметру значение числа $\pi$ не используется.
Ответ: 7,5 мм.

2. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен 12,2 дм.

2.

r = 12,2 дм, π ≈ 3, d = 2r.

d ≈ 2 • 12,2 ≈ 24,4 дм.

Диаметр окружности ($d$) связан с её радиусом ($r$) следующей формулой: диаметр равен удвоенному радиусу.

Формула: $d = 2 \cdot r$.

По условию задачи, радиус окружности равен $r = 12,2$ дм.

Чтобы найти диаметр, подставим известное значение радиуса в формулу и выполним вычисление:

$d = 2 \cdot 12,2$ дм

$d = 24,4$ дм

Таким образом, диаметр окружности составляет 24,4 дм.

Ответ: 24,4 дм.

3. Найдите длину окружности, если её диаметр равен 6,5 см.

3.

d = 6,5 см, π ≈ 3, C = πd.

С ≈ 3 • 6,5 ≈ 19,5 см

Чтобы найти длину окружности ($C$), зная её диаметр ($d$), используется формула:
$C = \pi d$
Здесь $\pi$ (пи) — это математическая константа, которую для расчетов мы примем равной $3,14$.

По условию задачи, диаметр окружности $d = 6,5$ см.

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:
$C \approx 3,14 \cdot 6,5$
$C \approx 20,41$ см

Ответ: $20,41$ см.

4. Найдите радиус окружности, если её длина равна 159 м.

4.

$\mathrm{С} = 159 \mathrm{м}, \mathrm{\pi }\approx 3, \mathrm{r} = \frac{\mathrm{C}}{2\mathrm{\pi }}.$

$\mathrm{С} \approx \frac{159}{2 · 3} \approx \frac{159}{6} \approx 26,5 \mathrm{м}.$

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу длины окружности, которая связывает длину окружности $C$ и её радиус $r$:

$C = 2 \pi r$

где $\pi$ — это математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

В условии задачи дано, что длина окружности $C = 159$ м.

Чтобы найти радиус $r$, нужно выразить его из этой формулы. Для этого разделим обе части уравнения на $2 \pi$:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Теперь подставим известное значение длины окружности $C = 159$ м в полученную формулу:

$r = \frac{159}{2 \pi}$ м

Это является точным ответом. Если необходимо найти приближенное численное значение, можно использовать значение $\pi \approx 3.14$:

$r \approx \frac{159}{2 \times 3.14} = \frac{159}{6.28} \approx 25.31847...$ м

Округляя результат до сотых, получаем:

$r \approx 25.32$ м

Ответ: радиус окружности равен $\frac{159}{2 \pi}$ м, что приблизительно равно 25,32 м.

5. Найдите диаметр окружности, если её длина равна 258 дм.

5.

$\mathrm{С} = 258 \mathrm{дм}, \mathrm{\pi }\approx 3, \mathrm{d} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{\pi }}.$

$d \approx \frac{258}{3} \approx 86 дм$

Для нахождения диаметра окружности, зная ее длину, используется формула длины окружности $C$:

$C = \pi d$

где $C$ – это длина окружности, $d$ – это ее диаметр, а $\pi$ (пи) – это математическая константа.

Из условия задачи нам известно, что длина окружности $C$ равна 258 дм.

Чтобы найти диаметр $d$, необходимо выразить его из приведенной выше формулы:

$d = \frac{C}{\pi}$

Теперь подставим в эту формулу заданное значение длины окружности:

$d = \frac{258}{\pi}$ дм.

Это точный ответ. Если необходимо получить приближенное численное значение, можно использовать значение $\pi \approx 3,14$:

$d \approx \frac{258}{3,14} \approx 82,1656...$ дм.

Округлив результат до двух знаков после запятой, получим $d \approx 82,17$ дм.

Ответ: $\frac{258}{\pi}$ дм.

6. Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

6.

$\mathrm{r} = 7 \mathrm{см}, \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2, \mathrm{\pi }\approx 3.$

$\mathrm{S} \approx 3 · 7^2 \approx 3 · 49 \approx 147 \left({\mathrm{см}}^2\right)$

6

Площадь круга $(S)$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус круга.

По условию задачи, радиус круга $R = 7$ см.

Подставим данное значение радиуса в формулу, чтобы найти точную площадь:

$S = \pi \cdot 7^2 = \pi \cdot 49 = 49\pi \text{ см}^2$.

Для вычисления приближенного численного значения площади, можно использовать значение числа $\pi \approx \frac{22}{7}$.

$S \approx \frac{22}{7} \cdot 49 \text{ см}^2 = 22 \cdot 7 \text{ см}^2 = 154 \text{ см}^2$.

Ответ: точная площадь равна $49\pi \text{ см}^2$, а приближенная площадь равна $154 \text{ см}^2$.

7. Найдите площадь круга, если его диаметр равен 5 м.

7.

$$\begin{gathered} \mathrm{d} = 5 \mathrm{см}, \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2, \mathrm{\pi }\approx 3. \\ \mathrm{r} = \mathrm{d} : 2 = 5 : 2 = 2,5 \left(\mathrm{см}\right) \\ \mathrm{S} \approx 3 · 2,5^2 \approx 3 · 6,25 = 18,75 \left({\mathrm{см}}^2\right). \end{gathered}$$

7

Для того чтобы найти площадь круга ($S$), зная его диаметр ($d$), необходимо сначала определить радиус ($r$) этого круга. Радиус равен половине диаметра.
По условию задачи, диаметр круга равен 5 м.
$d = 5$ м.

Найдем радиус:
$r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.

Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем вычислить площадь круга по формуле:
$S = \pi r^2$
Подставляем значение радиуса в формулу:
$S = \pi \times (2.5)^2 = \pi \times 6.25 = 6.25\pi$ м².

Также можно было решить задачу, используя формулу площади круга через диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.
$S = \frac{\pi \times 5^2}{4} = \frac{\pi \times 25}{4} = 6.25\pi$ м².

Ответ: $6.25\pi$ м².

1. Для расчёта материалов определите длину окружности и площадь каждой заготовки и заполните таблицу. Принять π = 3,14.

Проверочная работа № 2

1.

π ≈ 3,14

С = 2πr

r = 5 см: С = 2 • 3,14 • 5 = 3,14 • 10 = 31,4 (см)

r = 3 см: С = 2 • 3,14 • 3 = 3,14 • 6 = 18,84 (см)

r = 1,5 см: С = 2 • 3,14 • 1,5 = 3,14 • 3 = 9,42 (см)

S = πr²

r = 5 см: S = 3,14 • 5² = 3,14 • 25 = 78,5 (см²)

r = 3 см: S = 3,14 • 3² = 3,14 • 9 = 28,26 (см²)

r = 1,5 см: S = 3,14 • 1,5² = 3,14 • 2,25 = 7,065 (см²)

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами:

• Длина окружности: $C = 2 \pi r$, где $r$ – радиус окружности.
• Площадь круга: $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга.

По условию задачи, принимаем значение $\pi = 3,14$.

I круг

Дан радиус $r = 5$ см.

1. Находим длину окружности (C):

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 10 \cdot 3,14 = 31,4$ см.

2. Находим площадь круга (S):

$S = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot 5^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,5$ см².

Ответ: Длина окружности $C = 31,4$ см, площадь круга $S = 78,5$ см².

II круг

В условии задачи не указан радиус для второго круга. Поэтому мы не можем вычислить конкретные числовые значения для длины окружности и площади. Расчеты можно представить в общем виде, оставив радиус $r$ в качестве переменной.

1. Длина окружности (C):

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3,14 \cdot r = 6,28r$ см.

2. Площадь круга (S):

$S = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot r^2 = 3,14r^2$ см².

Ответ: Невозможно дать числовой ответ, так как радиус $r$ для II круга не указан. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 6,28r$, а площадь круга по формуле $S = 3,14r^2$.

III круг

Аналогично второму кругу, в условии не предоставлены данные о радиусе третьего круга. Вычисления можно провести только в общем виде.

1. Длина окружности (C):

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3,14 \cdot r = 6,28r$ см.

2. Площадь круга (S):

$S = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot r^2 = 3,14r^2$ см².

Ответ: Невозможно дать числовой ответ, так как радиус $r$ для III круга не указан. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 6,28r$, а площадь круга по формуле $S = 3,14r^2$.

Заполненная таблица на основе имеющихся данных: