Страница 148, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.154. Симметричны ли на фотографии крылья бабочки (рис. 3.40)? Если да, то как расположена ось симметрии?

3.154

Крылья бабочки симметричны относительно прямой, проходящей через туловище бабочки

Да, крылья бабочки на фотографии (рис. 3.40) демонстрируют осевую (зеркальную) симметрию.

Осевая симметрия — это тип симметрии, при котором фигуру можно разделить прямой линией (осью симметрии) на две части так, что одна часть будет являться точным зеркальным отражением другой.

В случае с бабочкой на фотографии, ось симметрии можно провести мысленно. Эта ось представляет собой вертикальную прямую, которая проходит точно через центр туловища бабочки, разделяя его на две равные половины. Если мысленно "сложить" изображение вдоль этой линии, то левое крыло практически полностью совпадет с правым крылом по форме, размеру и узору. Каждая точка на одном крыле имеет соответствующую ей симметричную точку на другом крыле, расположенную на таком же перпендикулярном расстоянии от оси симметрии.

Ответ: Да, крылья бабочки на фотографии симметричны. Ось симметрии расположена вертикально и проходит через середину туловища бабочки.

3.155. Изображение какого цветка на фотографии (рис. 3.41) симметрично? Какой вид симметрии можно предполагать?

3.155

Изображение цветка симметрично относительно точки – центра цветка, и относительно оси – прямых, проходящих через центр цветка.

Изображение какого цветка на фотографии (рис. 3.41) симметрично?

На фотографии симметричным является изображение цветка, расположенного справа вверху. Этот цветок сфотографирован в ракурсе, близком к виду спереди (анфас), что позволяет отчетливо наблюдать его симметричное строение. Лепестки цветка равномерно распределены вокруг его центра. В отличие от него, изображение цветка слева несимметрично, так как ракурс съемки (сбоку) вносит перспективные искажения в его форму.

Ответ: Симметрично изображение цветка, расположенного справа.

Какой вид симметрии можно предполагать?

У изображения правого цветка можно предположить наличие двух основных видов симметрии:
1. Поворотная (вращательная) симметрия. Это означает, что изображение можно повернуть вокруг его центральной точки, и оно совпадет само с собой. У цветка 6 лепестков, следовательно, он обладает поворотной симметрией 6-го порядка. Минимальный угол поворота, при котором цветок совмещается сам с собой, составляет $360^\circ / 6 = 60^\circ$.
2. Осевая (зеркальная) симметрия. Через центр цветка можно провести несколько воображаемых прямых (осей симметрии) так, что одна половина изображения будет являться точным зеркальным отражением другой. У цветка с шестью лепестками, как правило, имеется 6 осей симметрии.

Ответ: Можно предполагать наличие поворотной симметрии 6-го порядка и осевой (зеркальной) симметрии.

3.156. Изобразите рисунок 3.42 в тетради. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС:

а) относительно прямой n;

б) относительно вершины А.

3.156

а) симметрия относительно прямой n

б) симметрия относительно вершины А

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем левый нижний угол сетки за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки за единицу масштаба. В этой системе координат вершины треугольника $ABC$ имеют следующие координаты:

• $A(1, 3)$
• $B(3, 6)$
• $C(5, 2)$

Прямая $n$ проходит через точки с координатами $(2, 8)$ и $(8, 2)$.

а) относительно прямой n

Чтобы построить треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$ (осевая симметрия), необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти симметричную ей точку. Точка $P'$ является симметричной точке $P$ относительно прямой $n$, если прямая $n$ перпендикулярна отрезку $PP'$ и проходит через его середину.

На клетчатой бумаге построение удобно выполнять, используя свойства прямой $n$. Эта прямая имеет угловой коэффициент $-1$ (при сдвиге на одну клетку вправо она смещается на одну клетку вниз). Прямая, перпендикулярная ей, будет иметь угловой коэффициент $1$ и будет проходить по диагоналям клеток.

1. Построение точки $A'$ (симметричной A): Из точки $A(1, 3)$ проведем перпендикуляр к прямой $n$. Для этого двигаемся по диагонали клеток (вверх и вправо) до пересечения с прямой $n$. Точка пересечения $M_A$ имеет координаты $(4, 6)$. Расстояние от $A$ до $M_A$ соответствует смещению на $3$ клетки вправо и $3$ клетки вверх. Чтобы найти $A'$, откладываем такое же смещение от точки $M_A$: $A' = (4+3, 6+3) = (7, 9)$.
2. Построение точки $B'$ (симметричной B): Из точки $B(3, 6)$ проводим перпендикуляр к прямой $n$. Точка их пересечения $M_B$ — это середина отрезка $BB'$, она имеет координаты $(3.5, 6.5)$. Это смещение на $0.5$ клетки вправо и $0.5$ клетки вверх от точки $B$. Откладываем такое же смещение от $M_B$ и получаем точку $B' = (3.5+0.5, 6.5+0.5) = (4, 7)$.
3. Построение точки $C'$ (симметричной C): Из точки $C(5, 2)$ проводим перпендикуляр к прямой $n$. Точка их пересечения $M_C$ имеет координаты $(6.5, 3.5)$. Это смещение на $1.5$ клетки вправо и $1.5$ клетки вверх от точки $C$. Откладываем такое же смещение от $M_C$ и получаем точку $C' = (6.5+1.5, 3.5+1.5) = (8, 5)$.

Соединив полученные точки $A'(7, 9)$, $B'(4, 7)$ и $C'(8, 5)$, получим искомый треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $n$.

Ответ: Вершины симметричного треугольника имеют координаты $A'(7, 9)$, $B'(4, 7)$, $C'(8, 5)$.

б) относительно вершины A

Чтобы построить треугольник $A''B''C''$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $A$ (центральная симметрия), необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти точку, симметричную ей относительно центра $A$. Точка $P''$ является симметричной точке $P$ относительно центра $A$, если точка $A$ является серединой отрезка $PP''$.

1. Построение точки $A''$: Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с ним самим. Следовательно, $A'' = A(1, 3)$.
2. Построение точки $B''$: Точка $A$ — середина отрезка $BB''$. Чтобы перейти из точки $B(3, 6)$ в точку $A(1, 3)$, нужно сместиться на $2$ клетки влево и на $3$ клетки вниз. Чтобы найти $B''$, нужно выполнить такое же смещение из точки $A$: $B'' = (1-2, 3-3) = (-1, 0)$.
3. Построение точки $C''$: Точка $A$ — середина отрезка $CC''$. Чтобы перейти из точки $C(5, 2)$ в точку $A(1, 3)$, нужно сместиться на $4$ клетки влево и на $1$ клетку вверх. Для нахождения $C''$ выполним такое же смещение из точки $A$: $C'' = (1-4, 3+1) = (-3, 4)$.

Соединив точки $A''(1, 3)$, $B''(-1, 0)$ и $C''(-3, 4)$, получим искомый треугольник $A''B''C''$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $A$.

Ответ: Вершины симметричного треугольника имеют координаты $A''(1, 3)$, $B''(-1, 0)$, $C''(-3, 4)$.

3.157. Начертите треугольник MNT. Постройте треугольник, симметричный треугольнику MNT:

а) относительно прямой MN; б) относительно вершины N.

3.157

а) относительно прямой MN

б) относительно вершины N

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник $MNT$.

Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Чтобы построить треугольник, симметричный данному, необходимо построить точки, симметричные каждой его вершине относительно заданной прямой $MN$. Обозначим искомый треугольник как $M'N'T'$.

1. По определению осевой симметрии, если точка лежит на оси симметрии, то она симметрична самой себе. Вершины $M$ и $N$ лежат на прямой $MN$, которая является осью симметрии. Следовательно, их образы совпадают с ними самими: $M' = M$ и $N' = N$.

2. Для построения точки $T'$, симметричной вершине $T$, проведем через точку $T$ прямую, перпендикулярную прямой $MN$. Обозначим точку их пересечения буквой $H$.

3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HT'$ в полуплоскости, не содержащей точку $T$, так, чтобы длина отрезка $HT'$ была равна длине отрезка $TH$. Таким образом, $TH = HT'$ и $TH \perp MN$. Точка $T'$ является симметричным образом точки $T$.

4. Соединим полученные вершины $M'$, $N'$ и $T'$. Треугольник $MNT'$ является искомым треугольником, симметричным треугольнику $MNT$ относительно прямой $MN$.

Ответ: Требуется построить точку $T'$, симметричную точке $T$ относительно прямой $MN$. Для этого нужно опустить перпендикуляр $TH$ из точки $T$ на прямую $MN$ и на его продолжении отложить отрезок $HT' = TH$. Искомый треугольник — это $MNT'$.

Симметрия относительно точки называется центральной симметрией. Чтобы построить треугольник, симметричный данному, необходимо построить точки, симметричные каждой его вершине относительно заданной точки $N$. Обозначим искомый треугольник как $M''N''T''$.

1. По определению центральной симметрии, центр симметрии симметричен сам себе. Вершина $N$ является центром симметрии, следовательно, ее образ совпадает с ней самой: $N'' = N$.

2. Для построения точки $M''$, симметричной вершине $M$ относительно точки $N$, проведем луч $MN$. На продолжении этого луча за точку $N$ отложим отрезок $NM''$, длина которого равна длине отрезка $MN$. Точка $N$ будет являться серединой отрезка $MM''$.

3. Аналогично для построения точки $T''$, симметричной вершине $T$ относительно точки $N$, проведем луч $TN$. На продолжении этого луча за точку $N$ отложим отрезок $NT''$, длина которого равна длине отрезка $TN$. Точка $N$ будет являться серединой отрезка $TT''$.

4. Соединим полученные вершины $M''$, $N''$ и $T''$. Треугольник $M''NT''$ является искомым треугольником, симметричным треугольнику $MNT$ относительно вершины $N$.

Ответ: Требуется построить точки $M''$ и $T''$, симметричные точкам $M$ и $T$ относительно точки $N$. Для этого нужно продлить отрезки $MN$ и $TN$ за точку $N$ на их длину, получив точки $M''$ и $T''$ соответственно ($MN=NM''$, $TN=NT''$). Искомый треугольник — это $M''NT''$.

3.158. Рассмотрите изображение мечети в городе Грозном (рис. 3.43) Симметрично ли оно? Если да, то как расположена ось симметрии этого изображения?

3.158

Изображение мечети симметрично относительно оси, проходящей вертикально через купол центрального здания.

Симметрично ли оно?
Да, данное изображение можно считать симметричным. Этот тип симметрии называется осевой или зеркальной. Основной объект на фотографии — мечеть «Сердце Чечни» — является симметричным архитектурным сооружением. Фотограф выбрал ракурс, который подчеркивает эту симметрию: центральный купол, минареты по бокам и фонтан на переднем плане расположены так, что левая часть изображения является практически точным зеркальным отражением правой. Несмотря на наличие небольших асимметричных деталей (например, облака на небе или игра света и тени), общая композиция кадра воспринимается как симметричная.
Ответ: Да, изображение можно считать симметричным.

Как расположена ось симметрии этого изображения?
Поскольку изображение симметрично, у него есть ось симметрии. Она представляет собой вертикальную прямую линию. Эта линия проходит ровно через центр фотографии, разделяя ее на две равные половины. Эта воображаемая линия пересекает вершину главного купола мечети, проходит через центр главного входа и делит пополам фонтан, расположенный на переднем плане.
Ответ: Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через центр изображения.

3.159. За 4 ч из трубы наполнилось 314 бассейна. За какое время из этой трубы наполнится 1415 бассейна?

3.159

$$\begin{gathered} \frac{4}{х} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{14}}}{{\displaystyle \frac{14}{15}}}; \\ х = \frac{4 · {\displaystyle \frac{14}{15}}}{{\displaystyle \frac{3}{14}}} = 4 · \frac{14}{15} : \frac{3}{14} = 4 · \frac{14}{15} · \frac{14}{3} = \\ = 4 · \frac{196}{45} = \frac{784}{45} = 17\frac{19}{45} \left(\mathrm{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $17\frac{19}{45} \mathrm{ч}.$

Для решения задачи сначала найдем производительность трубы, то есть какую часть бассейна она наполняет за 1 час. По условию, за 4 часа наполнилось $ \frac{3}{14} $ бассейна. Следовательно, производительность трубы составляет:

$ \frac{3}{14} \div 4 = \frac{3}{14 \times 4} = \frac{3}{56} $ бассейна в час.

Теперь необходимо определить, за какое время наполнится $ \frac{14}{15} $ бассейна при такой производительности. Для этого разделим требуемый объем на производительность:

$ \text{Время} = \frac{\text{Требуемый объем}}{\text{Производительность}} = \frac{14}{15} \div \frac{3}{56} $

Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{14}{15} \times \frac{56}{3} = \frac{14 \times 56}{15 \times 3} = \frac{784}{45} $

Получили время в часах в виде неправильной дроби. Для наглядности преобразуем ее в смешанное число. Разделим 784 на 45 с остатком:

$ 784 \div 45 = 17 $ и остаток $ 19 $.

Значит, $ \frac{784}{45} = 17 \frac{19}{45} $ часа.

Ответ: $17 \frac{19}{45}$ ч.

3.160. Отношение высот вулканов Пичинча и Котопахи равно 47 : 59, а Оризаба и Котопахи — 5625 : 59. Найдите высоту каждого вулкана, если Пичинча ниже Котопахи на 1200 м. Ответы округлите до десятков метров.

3.160

$\mathbf{1}\mathbf{)} 59 – 47 = 12 (\mathrm{ч})$ – Пичинча ниже Котопахи;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1200 : 12 = 100$(м) – составляет 1 часть;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }47 · 100 = 4700$ (м) – высота Пичинчи;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 59 · 100 = 5900$ (м) – высота Котопахи;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }56\frac{2}{5} · 100 = 56,4 · 100 = 5640$ (м) – высота Оризаба.

Ответ: 4700 м Пичинча, 5900 м Котопаза, 5640 м Оризаба.

Для решения задачи введем обозначения для высот вулканов в метрах:
$h_П$ — высота вулкана Пичинча.
$h_К$ — высота вулкана Котопахи.
$h_О$ — высота вулкана Орисаба.

Из условия задачи известны следующие соотношения:
1. Отношение высот Пичинча и Котопахи: $h_П : h_К = 47 : 59$.
2. Отношение высот Орисаба и Котопахи: $h_О : h_К = 56\frac{2}{5} : 59$.
3. Разница высот Пичинча и Котопахи: $h_К - h_П = 1200$ м.

Используя первое и третье условия, найдем сначала высоты вулканов Пичинча и Котопахи. Из отношения $h_П : h_К = 47 : 59$ следует, что можно ввести коэффициент пропорциональности $x$, такой что $h_П = 47x$ и $h_К = 59x$.
Подставим эти выражения в уравнение для разности высот:
$h_К - h_П = 1200$
$59x - 47x = 1200$
$12x = 1200$
$x = \frac{1200}{12} = 100$
Таким образом, одна часть в соотношении высот равна 100 метрам.

Высота вулкана Пичинча
Теперь, зная значение $x$, мы можем вычислить высоту вулкана Пичинча:
$h_П = 47x = 47 \cdot 100 = 4700$ м.
Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятков метров. Число 4700 уже является кратным 10, поэтому дополнительное округление не требуется.
Ответ: 4700 м.

Высота вулкана Котопахи
Аналогично находим высоту вулкана Котопахи:
$h_К = 59x = 59 \cdot 100 = 5900$ м.
Это число также уже округлено до десятков.
Ответ: 5900 м.

Высота вулкана Орисаба
Для нахождения высоты Орисабы используем второе условие: $h_О : h_К = 56\frac{2}{5} : 59$.
Запишем это отношение в виде пропорции:
$\frac{h_О}{h_К} = \frac{56\frac{2}{5}}{59}$
Мы уже вычислили, что высота Котопахи $h_К = 5900$ м. Подставим это значение в пропорцию:
$\frac{h_О}{5900} = \frac{56\frac{2}{5}}{59}$
Выразим отсюда высоту Орисабы $h_О$:
$h_О = \frac{56\frac{2}{5}}{59} \cdot 5900$
Преобразуем смешанное число $56\frac{2}{5}$ в десятичную дробь для удобства вычислений: $56\frac{2}{5} = 56 + \frac{2}{5} = 56 + 0.4 = 56.4$.
$h_О = \frac{56.4}{59} \cdot 5900$
Сократим дробь:
$h_О = 56.4 \cdot \frac{5900}{59} = 56.4 \cdot 100 = 5640$ м.
Высота вулкана Орисаба равна 5640 м. Это число уже округлено до десятков.
Ответ: 5640 м.

3.161. Решите уравнение:

а) 323 : a = 489 : 157; б) 178 : 213 = 334 : b; в) 814 : c = 1334 : 213; г) 523 : 256 = 217 : d.

3.161

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{2}{3} : а = 4\frac{8}{9} : 1\frac{5}{7}; \\ а = 3\frac{2}{3} · 1\frac{5}{7} : 4\frac{8}{9}; \\ а = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} · \frac{12}{7} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{44}}}}; \\ а = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{7} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ а = \frac{9}{7}; \\ а = 1\frac{2}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{2}{7}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1\frac{7}{8} : 2\frac{1}{3} = 3\frac{3}{4} : b; \\ b = 2\frac{1}{3} · 3\frac{3}{4} : 1\frac{7}{8}; \\ b = \frac{7}{3} · \frac{\cancel{15}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{\cancel{15}}; \\ b = \frac{7 · 1 · 2}{3 · 1 · 1}; \\ b = \frac{14}{3}; \\ b = 4\frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 4\frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }8\frac{1}{4} : с = 13\frac{3}{4} : 2\frac{1}{3}; \\ с = 8\frac{1}{4} · 2\frac{1}{3} : 13\frac{3}{4}; \\ с = \frac{{\displaystyle \stackrel{\sout{3}}{\cancel{33}}}}{\bcancel{4}} · \frac{7}{\sout{3}} · \frac{\bcancel{4}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{55}}}}; \\ с =\frac{7}{5}; \\ с = 1\frac{2}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{2}{5}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{2}{3} : 2\frac{5}{6} = 2\frac{1}{7} : d; \\ d = 2\frac{5}{6} · 2\frac{1}{7} : 5\frac{2}{3}; \\ d = \frac{\sout{17}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} · \frac{15}{7} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{\sout{17}}; \\ d = \frac{15}{14}; \\ d = 1\frac{1}{14}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{14}. \end{gathered}$$

а) Исходное уравнение: $3\frac{2}{3} : a = 4\frac{8}{9} : 1\frac{5}{7}$. Данное уравнение представляет собой пропорцию. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции $a$, необходимо произведение крайних членов разделить на известный средний член. $a = (3\frac{2}{3} \cdot 1\frac{5}{7}) : 4\frac{8}{9}$. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$; $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$; $4\frac{8}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{44}{9}$. Теперь выполним вычисления по шагам: 1. Найдем произведение в скобках: $3\frac{2}{3} \cdot 1\frac{5}{7} = \frac{11}{3} \cdot \frac{12}{7} = \frac{11 \cdot 12}{3 \cdot 7} = \frac{11 \cdot 4}{7} = \frac{44}{7}$. 2. Выполним деление: $\frac{44}{7} : 4\frac{8}{9} = \frac{44}{7} : \frac{44}{9} = \frac{44}{7} \cdot \frac{9}{44} = \frac{9}{7}$. 3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$. Ответ: $1\frac{2}{7}$.

б) Исходное уравнение: $1\frac{7}{8} : 2\frac{1}{3} = 3\frac{3}{4} : b$. Это пропорция. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $b$, необходимо произведение средних членов разделить на известный крайний член. $b = (2\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{4}) : 1\frac{7}{8}$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$; $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$; $1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$. Выполним вычисления по шагам: 1. Найдем произведение в скобках: $2\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{15}{4} = \frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 4} = \frac{7 \cdot 5}{4} = \frac{35}{4}$. 2. Выполним деление: $\frac{35}{4} : 1\frac{7}{8} = \frac{35}{4} : \frac{15}{8} = \frac{35}{4} \cdot \frac{8}{15} = \frac{35 \cdot 8}{4 \cdot 15} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{14}{3}$. 3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$. Ответ: $4\frac{2}{3}$.

в) Исходное уравнение: $8\frac{1}{4} : c = 13\frac{3}{4} : 2\frac{1}{3}$. Это пропорция. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции $c$, необходимо произведение крайних членов разделить на известный средний член. $c = (8\frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{3}) : 13\frac{3}{4}$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $8\frac{1}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{33}{4}$; $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$; $13\frac{3}{4} = \frac{13 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{55}{4}$. Выполним вычисления по шагам: 1. Найдем произведение в скобках: $8\frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{33}{4} \cdot \frac{7}{3} = \frac{33 \cdot 7}{4 \cdot 3} = \frac{11 \cdot 7}{4} = \frac{77}{4}$. 2. Выполним деление: $\frac{77}{4} : 13\frac{3}{4} = \frac{77}{4} : \frac{55}{4} = \frac{77}{4} \cdot \frac{4}{55} = \frac{77}{55} = \frac{7 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{7}{5}$. 3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$. Ответ: $1\frac{2}{5}$.

г) Исходное уравнение: $5\frac{2}{3} : 2\frac{5}{6} = 2\frac{1}{7} : d$. Это пропорция. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $d$, необходимо произведение средних членов разделить на известный крайний член. $d = (2\frac{5}{6} \cdot 2\frac{1}{7}) : 5\frac{2}{3}$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$; $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$; $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$. Выполним вычисления по шагам: 1. Найдем произведение в скобках: $2\frac{5}{6} \cdot 2\frac{1}{7} = \frac{17}{6} \cdot \frac{15}{7} = \frac{17 \cdot 15}{6 \cdot 7} = \frac{17 \cdot 5}{2 \cdot 7} = \frac{85}{14}$. 2. Выполним деление: $\frac{85}{14} : 5\frac{2}{3} = \frac{85}{14} : \frac{17}{3} = \frac{85}{14} \cdot \frac{3}{17} = \frac{5 \cdot 17 \cdot 3}{14 \cdot 17} = \frac{15}{14}$. 3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$. Ответ: $1\frac{1}{14}$.