Страница 151, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.166. Найдите диаметры окружностей, если их длины равны 59,66 м и 40,82 дм. Принять π = 3,14.

3.166

$\mathrm{С} = 59,66 \mathrm{м}; 40,82 \mathrm{дм}. \mathrm{\pi }\approx 3,14.\mathrm{d}=\frac{ \mathrm{C}}{\mathrm{\pi }}.$

$\mathrm{d} = 59,66 : 3,14 = 5966 : 314 = 19 \mathrm{м}$

$\mathrm{d} = 40,82 : 3,14 = 4082 : 314 = 13 \mathrm{дм}$

Для нахождения диаметра окружности ($d$) по её известной длине ($C$) используется формула длины окружности: $C = \pi d$.Чтобы найти диаметр, выразим его из этой формулы: $d = \frac{C}{\pi}$.Согласно условию задачи, мы принимаем значение числа $\pi$ равным 3,14.

Для окружности с длиной 59,66 м
Подставим в формулу известные значения: длина окружности $C_1 = 59,66$ м и $\pi \approx 3,14$.
Выполним вычисление:
$d_1 = \frac{59,66}{3,14} = 19$ м.
Ответ: 19 м.

Для окружности с длиной 40,82 дм
Подставим в формулу известные значения: длина окружности $C_2 = 40,82$ дм и $\pi \approx 3,14$.
Выполним вычисление:
$d_2 = \frac{40,82}{3,14} = 13$ дм.
Ответ: 13 дм.

3.167. Велосипедист проехал 439,6 м, при этом переднее колесо велосипеда сделало 200 оборотов. Найдите диаметр колеса. Результат округлите до сотых метра. Принять π = 3,14.

3.167

$\mathrm{S} = 439,6 \mathrm{м}. \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

Оборотов – 200

$Р = d = \frac{C}{\pi }.$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }439,6 : 200 = 2,198$ (м) – длина одного оборота колеса

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }2,198 : 3,14 = 219,8 : 314 = 0,7 (\mathrm{м}) = 0,70 (\mathrm{м})$

Ответ: 0,70 м.

1. Сначала найдем расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот. Это расстояние равно длине окружности колеса ($C$). Чтобы найти его, нужно общее пройденное расстояние ($S$) разделить на количество оборотов ($N$).

Дано:

$S = 439,6$ м (общее расстояние)

$N = 200$ (количество оборотов)

$C = S / N = 439,6 / 200 = 2,198$ м.

2. Длина окружности колеса связана с его диаметром ($d$) формулой: $C = \pi \cdot d$. Чтобы найти диаметр, нужно длину окружности разделить на число $\pi$.

По условию задачи, $\pi \approx 3,14$.

$d = C / \pi = 2,198 / 3,14 = 0,7$ м.

3. В задаче требуется округлить результат до сотых метра. Число 0,7 в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой записывается как 0,70.

Ответ: 0,70 м.

3.168. а) На рисунке 3.49 изображена половина окружности. Сделайте необходимые измерения и найдите длину полуокружности.

б) Измерьте радиус каждой окружности и вычислите площадь кольца (рис. 3.50).

3.168

$\mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{d} = 4\mathrm{см}; \mathrm{С} = \mathrm{\pi d}. \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

$1) 4 · 3,14 = 12,56$(см) – длина окружности;

$2) 12,56 : 2 = 6,28$(см) – длина полуокружности.

Ответ: 6,28 м.

$\mathbf{б}\mathbf{)} {\mathrm{r}}_1= 1 \mathrm{см}; {\mathrm{r}}_2= 2 \mathrm{см}; \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2. \mathrm{\pi }\approx 3,14.$

$1) 3,14 · 1^2 = 3,14$(см²) – площадь внутреннего круга;

$2) 3,14 · 2^2 = 3,14 · 4 = 12,56$(см²) – площадь внешнего круга;

$3) 12,56 – 3,14 = 9,42$(см²) – площадь кольца.

Ответ: 9,42 см².

Чтобы найти длину полуокружности (длину дуги), изображенной на рисунке 3.49, нужно сначала определить ее радиус $r$ или диаметр $d$. Длина полуокружности вычисляется по формуле $L = \pi r$.

Для этого необходимо произвести измерение. С помощью линейки измерим диаметр $d$ полуокружности, то есть расстояние между ее концами.

Приложив линейку к рисунку, получаем, что диаметр $d \approx 2,4$ см. (Примечание: результат измерения может незначительно отличаться в зависимости от масштаба отображения рисунка).

Радиус полуокружности равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{2,4 \text{ см}}{2} = 1,2 \text{ см}$.

Теперь вычислим длину полуокружности, приняв значение числа $\pi \approx 3,14$: $L = \pi r \approx 3,14 \times 1,2 \text{ см} = 3,768 \text{ см}$.

Округлим полученное значение до десятых.
Ответ: $\approx 3,8$ см.

Площадь кольца (рис. 3.50) — это разность площадей большего и меньшего кругов. Формула для вычисления площади кольца: $S = S_{большого} - S_{малого} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$, где $R$ — радиус внешней окружности, а $r$ — радиус внутренней окружности.

С помощью линейки измерим радиусы от общего центра $O$:

• Радиус большей окружности: $R \approx 1,5$ см.
• Радиус меньшей окружности: $r \approx 0,8$ см.

(Примечание: результаты измерений могут незначительно отличаться).

Теперь подставим измеренные значения в формулу площади кольца и вычислим ее, приняв $\pi \approx 3,14$:
$S = \pi (R^2 - r^2) \approx 3,14 \times ((1,5 \text{ см})^2 - (0,8 \text{ см})^2)$
$S \approx 3,14 \times (2,25 \text{ см}^2 - 0,64 \text{ см}^2)$
$S \approx 3,14 \times 1,61 \text{ см}^2$
$S \approx 5,0554 \text{ см}^2$

Округлим результат до сотых.
Ответ: $\approx 5,06$ см².

3.169. Диаметр увеличили на 4 дм. На сколько увеличилась длина окружности?

3.169

d дм – диаметр окружности, С = πd – длина окружности

(d + 4) дм – стал диаметр окружности, С₁ = π(d + 4) – стала длина окружности

С₁ – С = π(d + 4) – πd = πd + 4π – πd = 4π.

Ответ: увеличится на 4π.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — это диаметр окружности, а $\pi$ — математическая константа.
Пусть первоначальный диаметр был равен $d_1$. Тогда первоначальная длина окружности была $C_1 = \pi d_1$.
Согласно условию, диаметр увеличили на 4 дм. Таким образом, новый диаметр стал $d_2 = d_1 + 4$ дм.
Новая длина окружности, соответствующая новому диаметру, будет равна $C_2 = \pi d_2 = \pi (d_1 + 4)$.
Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, необходимо найти разность между новой и первоначальной длинами: $\Delta C = C_2 - C_1$.
Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$:
$\Delta C = \pi (d_1 + 4) - \pi d_1$
Раскроем скобки:
$\Delta C = \pi d_1 + 4\pi - \pi d_1$
Сократим подобные слагаемые ($\pi d_1$ и $-\pi d_1$):
$\Delta C = 4\pi$
Таким образом, увеличение длины окружности не зависит от ее первоначального размера, а зависит только от величины, на которую увеличили ее диаметр.
Ответ: Длина окружности увеличилась на $4\pi$ дм.

3.170. В Древнем Риме цирк был местом проведения конных скачек и соревнований колесниц. Круп лошади, бегущей по манежу, должен быть под одним и тем же углом по отношению к центру манежа. Это было возможно при длине окружности 40,8 м. Поэтому такой размер манежа принят во всём мире. Найдите диаметр и площадь арены. Принять π = 3.

3.170

$\mathrm{C} = 40,8 \mathrm{м}; \mathrm{\pi }\approx 3,14.\mathrm{d}= \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{\pi }}. \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2. \mathrm{r} = \mathrm{d} : 2.$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 40,8 : 3 = 13,6$(м) – диаметр арены;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }13,6 : 2 = 6,8$(м) – радиус арены;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{S} = 3 · 6,8^2 = 138,72 ({\mathrm{м}}^2).$

Ответ: 13,6 м; 138,72 м^2.

Для решения задачи необходимо найти диаметр и площадь арены, которая имеет форму круга.

Найдем диаметр арены.
Длина окружности ($C$) связана с ее диаметром ($d$) формулой: $C = \pi d$.
По условию задачи, длина окружности $C = 40,8$ м, а число $\pi$ принимается равным 3.
Чтобы найти диаметр, выразим его из формулы: $d = \frac{C}{\pi}$
Подставим известные значения и вычислим: $d = \frac{40,8}{3} = 13,6$ м.
Ответ: диаметр арены равен 13,6 м.

Найдем площадь арены.
Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга.
Радиус равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2}$.
Используя найденный ранее диаметр, вычислим радиус: $r = \frac{13,6}{2} = 6,8$ м.
Теперь можем вычислить площадь арены, подставив значения $\pi$ и $r$ в формулу: $S = 3 \cdot (6,8)^2$
Сначала возведем радиус в квадрат: $(6,8)^2 = 6,8 \cdot 6,8 = 46,24$ м²
Теперь умножим полученное значение на $\pi$: $S = 3 \cdot 46,24 = 138,72$ м²
Ответ: площадь арены равна 138,72 м².

3.171. а) Площадь циферблата кремлёвских курантов приближённо равна 29,21 м²(рис. 3.51) Найдите радиус циферблата.

б) Длина минутной стрелки от центра курантов равна 2,54 м. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час? Ответы округлите до сотых долей метра.

3.171

а)

$$\begin{gathered} \mathrm{S} = 29,21 {\mathrm{м}}^2. \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2. \mathrm{\pi }\approx 3,14. \\ 3,14 · {\mathrm{r}}^2 = 29,21; \\ {\mathrm{r}}^2 = 29,21 : 3,14; \\ {\mathrm{r}}^2 = 2921 : 314; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{r}}^2 \approx 9; \\ \mathrm{r} \approx 3 \left(\mathrm{м}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 3 м.

б)

$\mathrm{r} = 2,54 \mathrm{м}. \mathrm{С} = 2\mathrm{\pi r}.$

$С = 2 · 3,14 · 2,54 = 6,28 · 2,54 = 15,9512 \approx 15,95$(м) – пройдет за час минутная стрелка.

Ответ: ≈ 15,95 м.

а)

Площадь циферблата представляет собой площадь круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус.
По условию, площадь циферблата $S$ приближённо равна $29,21 \text{ м}^2$.
Чтобы найти радиус, выразим его из формулы площади:
$r^2 = \frac{S}{\pi}$
$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
Подставим известное значение площади и будем использовать приближённое значение $\pi \approx 3,14$, так как это значение, скорее всего, использовалось при составлении задачи для получения "красивого" ответа:
$r \approx \sqrt{\frac{29,21}{3,14}} = \sqrt{9,3025} = 3,05 \text{ м}$.

Ответ: радиус циферблата приближённо равен 3,05 м.

б)

Конец минутной стрелки движется по окружности. Длина минутной стрелки является радиусом этой окружности, то есть $r = 2,54 \text{ м}$.
За один час минутная стрелка совершает один полный оборот. Путь, который проходит конец стрелки, равен длине окружности, по которой он движется.
Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$.
Подставим значение радиуса $r = 2,54 \text{ м}$ и воспользуемся более точным значением $\pi \approx 3,14159...$ для вычислений:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 2,54 = 5,08 \pi \approx 15,95927 \text{ м}$.
Округлим результат до сотых долей метра, как требуется в условии:
$15,95927 \approx 15,96 \text{ м}$.

Ответ: за час конец минутной стрелки проходит путь, равный приблизительно 15,96 м.

3.172. Сделайте необходимые измерения и вычислите площади закрашенных фигур, изображённых на рисунке 3.52.

3.172

1 рисунок:

R₁ = 2,2 см – радиус большого круга

${\mathrm{S}}_1 = {{\mathrm{\pi R}}_1}^2 = \mathrm{\pi } · 2,2^2 = 4,84\mathrm{\pi }$(см²) – площадь полного большого круга

$4,84\pi : 2 = 2,42\pi$(см²) – площадь большого полукруга

r₁ = 1,1 см – радиус малых кругов

${\mathrm{S}}_1 = {{\mathrm{\pi r}}_1}^2 = \mathrm{\pi } · 1,1^2 = 1,21\mathrm{\pi }$(см²) – площадь каждого из малых полных кругов

$1,21\pi : 2 · 2 = 1,21\pi$(см²) – сумма площадей малых полукругов

$2,42\pi – 1,21\pi = 1,21\pi = 1,21 · 3,14 = 3,7994$(см²) – площадь закрашенной части фигуры

Ответ: 3,7994 см².

2 рисунок:

$S_1 = 2,5 · 4,5 = 11,25$(см²) – площадь прямоугольника

r = 0,8 см – радиус каждого из малых кругов

Вместе они составляют круг радиусом 0,8 см.

${\mathrm{S}}_2 = {\mathrm{\pi r}}^2 = \mathrm{\pi } · 0,8^2 = 0,64\mathrm{\pi } = 0,64 · 3,14 = 2,0096$(см²) – площадь не закрашенной части

$S = S_1 – S_2 = 11,25 – 2,0096 = 9,2404$(см²) – площадь закрашенной части

Ответ: 9,2404 см².

Для решения этой задачи необходимо сначала провести анализ фигур, выразить их площади через один общий параметр, а затем выполнить измерение этого параметра и вычислить численные значения площадей. В качестве общего параметра выберем радиус малых дуг.

Розовая фигура

Розовая фигура образована большим полукругом, из которого вырезаны два малых полукруга. Пусть радиус каждого из двух малых полукругов равен a. Тогда их диаметр равен $2a$. Прямолинейный вертикальный отрезок, ограничивающий фигуру справа, состоит из двух таких диаметров, поэтому его общая длина H равна $H = 2 \cdot (2a) = 4a$.

Большая дуга слева является полуокружностью с диаметром, равным H. Следовательно, радиус большого полукруга R равен $R = H/2 = 4a/2 = 2a$.

Площадь фигуры ($S_{розовая}$) можно найти как разность площади большого полукруга ($S_{БП}$) и удвоенной площади малого полукруга ($S_{МП}$).

Площадь большого полукруга: $S_{БП} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (2a)^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 4a^2 = 2\pi a^2$.

Площадь одного малого полукруга: $S_{МП} = \frac{1}{2}\pi a^2$.

Площадь розовой фигуры: $S_{розовая} = S_{БП} - 2 \cdot S_{МП} = 2\pi a^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi a^2) = 2\pi a^2 - \pi a^2 = \pi a^2$.

Теперь необходимо измерить параметр a. Измерим на рисунке диаметр малого полукруга, который равен $2a$. Допустим, измерение дает нам 2 см. Тогда $2a = 2$ см, откуда $a = 1$ см.

Подставим значение a в формулу площади: $S_{розовая} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$: $S_{розовая} \approx 3,14$ см$^2$.

Ответ: Площадь розовой фигуры равна $\pi a^2$, где a - радиус малого полукруга. При $a = 1$ см, площадь равна $\pi \approx 3,14$ см$^2$.

Зеленая фигура

Зеленая фигура представляет собой прямоугольник, из которого сверху и снизу вырезано по одному полукругу. Эти два полукруга вместе образуют целый круг.

Судя по рисунку, радиус вырезанных полукругов совпадает с радиусом a малых полукругов из первой фигуры. Ширина прямоугольника W равна диаметру этого круга, то есть $W = 2a$.

Высота прямоугольника H по построению равна высоте прямолинейного отрезка в первой фигуре, то есть $H = 4a$.

Площадь зеленой фигуры ($S_{зеленая}$) равна площади прямоугольника ($S_{прям}$) минус площадь круга ($S_{круга}$), образованного двумя полукругами.

Площадь прямоугольника: $S_{прям} = W \cdot H = (2a) \cdot (4a) = 8a^2$.

Площадь вырезанного круга с радиусом a: $S_{круга} = \pi a^2$.

Площадь зеленой фигуры: $S_{зеленая} = S_{прям} - S_{круга} = 8a^2 - \pi a^2 = (8 - \pi)a^2$.

Используем то же значение $a = 1$ см, полученное из измерений.

Подставляем в формулу: $S_{зеленая} = (8 - \pi) \cdot (1 \text{ см})^2 = (8 - \pi)$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$: $S_{зеленая} \approx 8 - 3,14 = 4,86$ см$^2$.

Ответ: Площадь зеленой фигуры равна $(8 - \pi)a^2$, где a - радиус вырезанного полукруга. При $a = 1$ см, площадь равна $8 - \pi \approx 4,86$ см$^2$.

3.173. На сколько площадь пятиугольника KADLM (рис. 3.53) меньше площади четверти круга, радиус МК которого равен 5 см?

3.173

$\mathrm{r} = 5 \mathrm{см}, \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{S} = \frac{1}{4}\mathrm{S}\mathrm{кр}. = \frac{1}{4} · {\mathrm{\pi r}}^2 = \frac{1}{4} · 3,14 · 5^2 =$

$= \frac{1}{4}· 3,14 · 25 = \frac{1}{4} · 78,5 = 19,625$ (см²) – площадь четверти круга

$$\begin{gathered} S_{KADLM}= \frac{1}{2} · 3 · 1 + 3 · 4 + 3 + \frac{1}{2} · 1 · 1 + \\ + \frac{1}{2} · 1 · 3 = \frac{3}{2} + 12 + 3 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \end{gathered}$$

$= 15 + \frac{7}{2} = 15 + 3\frac{1}{2} = 15 + 3,5 = 18,5$ (см²) – площадь пятиугольника

$19,625 – 18,5 = 1,125$ (см²) – площадь пятиугольника меньше площади четверти круга

Ответ: на 1,125 см².

Чтобы решить задачу, необходимо найти площадь четверти круга и площадь пятиугольника KADLM, а затем найти их разность.

1. Найдем площадь четверти круга

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Соответственно, площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi r^2$. По условию, радиус круга $r = MK = 5$ см. Подставим значение радиуса в формулу:

$S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{4}$ см².

2. Найдем площадь пятиугольника KADLM

Площадь пятиугольника KADLM можно найти, разбив его на три треугольника с общей вершиной в точке M: $\triangle MKA$, $\triangle MAD$ и $\triangle MDL$. Примем точку M за начало координат (0, 0). Судя по сетке на рисунке, каждое деление равно 1 см. Тогда координаты вершин будут следующими:

• M(0; 0)
• K(0; 5)
• A(2; 4)
• D(4; 2)
• L(5; 0)

Площадь треугольника с одной вершиной в начале координат и двумя другими в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$.

Вычислим площадь каждого треугольника:

• Площадь $\triangle MKA$ с вершинами M(0;0), K(0;5), A(2;4): $S_{MKA} = \frac{1}{2} |0 \cdot 4 - 2 \cdot 5| = \frac{1}{2} |-10| = 5$ см².
• Площадь $\triangle MAD$ с вершинами M(0;0), A(2;4), D(4;2): $S_{MAD} = \frac{1}{2} |2 \cdot 2 - 4 \cdot 4| = \frac{1}{2} |4 - 16| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ см².
• Площадь $\triangle MDL$ с вершинами M(0;0), D(4;2), L(5;0): $S_{MDL} = \frac{1}{2} |4 \cdot 0 - 5 \cdot 2| = \frac{1}{2} |-10| = 5$ см².

Общая площадь пятиугольника KADLM равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{KADLM} = S_{MKA} + S_{MAD} + S_{MDL} = 5 + 6 + 5 = 16$ см².

3. Найдем разность площадей

Чтобы найти, на сколько площадь пятиугольника меньше площади четверти круга, вычтем площадь пятиугольника из площади четверти круга: $S_{четверти} - S_{KADLM} = \frac{25\pi}{4} - 16$ см².

Ответ: площадь пятиугольника KADLM меньше площади четверти круга на $(\frac{25\pi}{4} - 16)$ см².