Номер 3.173, страница 151, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

23. Длина окружности и площадь круга. Шар. § 3. Отношения и пропорции. ч. 1 - номер 3.173, страница 151.

3.173. На сколько площадь пятиугольника KADLM (рис. 3.53) меньше площади четверти круга, радиус МК которого равен 5 см?

3.173

$\mathrm{r} = 5 \mathrm{см}, \mathrm{\pi }\approx 3,14. \mathrm{S} = {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{S} = \frac{1}{4}\mathrm{S}\mathrm{кр}. = \frac{1}{4} · {\mathrm{\pi r}}^2 = \frac{1}{4} · 3,14 · 5^2 =$

$= \frac{1}{4}· 3,14 · 25 = \frac{1}{4} · 78,5 = 19,625$ (см²) – площадь четверти круга

$$\begin{gathered} S_{KADLM}= \frac{1}{2} · 3 · 1 + 3 · 4 + 3 + \frac{1}{2} · 1 · 1 + \\ + \frac{1}{2} · 1 · 3 = \frac{3}{2} + 12 + 3 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \end{gathered}$$

$= 15 + \frac{7}{2} = 15 + 3\frac{1}{2} = 15 + 3,5 = 18,5$ (см²) – площадь пятиугольника

$19,625 – 18,5 = 1,125$ (см²) – площадь пятиугольника меньше площади четверти круга

Ответ: на 1,125 см².

Чтобы решить задачу, необходимо найти площадь четверти круга и площадь пятиугольника KADLM, а затем найти их разность.

1. Найдем площадь четверти круга

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Соответственно, площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi r^2$. По условию, радиус круга $r = MK = 5$ см. Подставим значение радиуса в формулу:

$S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{4}$ см².

2. Найдем площадь пятиугольника KADLM

Площадь пятиугольника KADLM можно найти, разбив его на три треугольника с общей вершиной в точке M: $\triangle MKA$, $\triangle MAD$ и $\triangle MDL$. Примем точку M за начало координат (0, 0). Судя по сетке на рисунке, каждое деление равно 1 см. Тогда координаты вершин будут следующими:

• M(0; 0)
• K(0; 5)
• A(2; 4)
• D(4; 2)
• L(5; 0)

Площадь треугольника с одной вершиной в начале координат и двумя другими в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$.

Вычислим площадь каждого треугольника:

• Площадь $\triangle MKA$ с вершинами M(0;0), K(0;5), A(2;4): $S_{MKA} = \frac{1}{2} |0 \cdot 4 - 2 \cdot 5| = \frac{1}{2} |-10| = 5$ см².
• Площадь $\triangle MAD$ с вершинами M(0;0), A(2;4), D(4;2): $S_{MAD} = \frac{1}{2} |2 \cdot 2 - 4 \cdot 4| = \frac{1}{2} |4 - 16| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ см².
• Площадь $\triangle MDL$ с вершинами M(0;0), D(4;2), L(5;0): $S_{MDL} = \frac{1}{2} |4 \cdot 0 - 5 \cdot 2| = \frac{1}{2} |-10| = 5$ см².

Общая площадь пятиугольника KADLM равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{KADLM} = S_{MKA} + S_{MAD} + S_{MDL} = 5 + 6 + 5 = 16$ см².

3. Найдем разность площадей

Чтобы найти, на сколько площадь пятиугольника меньше площади четверти круга, вычтем площадь пятиугольника из площади четверти круга: $S_{четверти} - S_{KADLM} = \frac{25\pi}{4} - 16$ см².

Ответ: площадь пятиугольника KADLM меньше площади четверти круга на $(\frac{25\pi}{4} - 16)$ см².