Номер 3.180, страница 152, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 3. Отношения и пропорции. 23. Длина окружности и площадь круга. Шар - номер 3.180, страница 152.

Условие.

3.180. Заполните таблицу, если известно, что аb = сd

a	1	2	2,4	$1\frac{1}{2}$		3x	5,2a	$3\frac{2}{5}$
b	3		4,8	$2\frac{1}{4}$	$\frac{4}{5}$	2x		1,5
c		3,5	1		$2\frac{1}{3}$		2.1		$2\frac{3}{5}$
d	15	10,5		5,2	2,8	0,7	0,6		$3\frac{2}{3}$

Решение 1.

3.180

a	1	2	2,4	$1\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	3х	5,2а	$3\frac{2}{5}$	3
b	3	6	4,8	$2\frac{1}{4}$	$\frac{4}{5}$	2х	$1\frac{17}{35}а$	1,5	4
c	5	3,5	1	$3\frac{7}{15}$	$2\frac{1}{3}$	1,05	2,1	34	$2\frac{3}{4}$
d	15	10,5	2	5,2	2,8	0,7	0,6	15	$3\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} 1 : 3 = с : 15. \\ с = \frac{1 · 15}{3} = 5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2 : b = 3,5 : 10,5. \\ b =\frac{2 · 10,5}{3,5} = \frac{2 · 105}{35} = \frac{210}{35} = 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2,4 : 4,8 = 1 : d. \\ d = \frac{4,8 · 1}{2,4}= 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4} = с : 5,2. \\ с = \frac{1{\displaystyle \frac{1}{2}} · 5,2}{2{\displaystyle \frac{1}{4}}} = \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}} · {\displaystyle \frac{52}{10}}}{{\displaystyle \frac{9}{4}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\sout{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{26}{\bcancel{52}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{26}{5} · \frac{2}{3} = \frac{52}{15} = 3\frac{7}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а : \frac{4}{5} = 2\frac{1}{3} : 2,8. \\ а = \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}} · 2{\displaystyle \frac{1}{3}}}{2,8} = \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}} · {\displaystyle \frac{7}{3}}}{{\displaystyle \frac{28}{10}}} = \frac{\sout{4}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{\sout{7}}{3} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{\sout{28}}= \\ =\frac{1}{1} · \frac{1}{3} · \frac{2}{1} = \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3х : 2х = с : 0,7. \\ с = \frac{3х · 0,7}{2х} = \frac{3 · 0,7}{2} = \frac{2,1}{2} = 1,05. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 5,2а : b = 2,1 : 0,6. \\ b = \frac{5,2 а ·{\displaystyle \stackrel{0,2}{\cancel{ 0,6}}}}{{\displaystyle \underset{0,7}{\cancel{2,1}}}} = \frac{5,2 а · 0,2}{0,7} = \frac{5,2 а · 2}{7} = \\ = \frac{10,4 а}{7} = \frac{104 }{70} а =1\frac{34}{70} а = 1\frac{17}{35} а. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3\frac{2}{5} : 1,5 = с : d. \\ 3\frac{2}{5} : 1,5 =\frac{17}{5} : \frac{15}{10} = \frac{17}{5} · \frac{10}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{34}{\cancel{170}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{75}}}}= \\ = \frac{34}{15}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а : b = 2\frac{3}{4} : 3\frac{2}{3}. \\ 2\frac{3}{4} : 3\frac{2}{3} = \frac{11}{4} : \frac{11}{3} = \frac{\cancel{11}}{4} · \frac{3}{\cancel{11}} = \\ =\frac{1}{4} · \frac{3}{1}= \frac{3}{4}. \end{gathered}$$

Решение 2.

Для заполнения таблицы воспользуемся основным свойством пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Для каждого столбца таблицы найдем недостающее значение, используя это свойство, которое также можно записать как $a \cdot d = b \cdot c$.

Расчет для столбца 1

Даны значения: $a=1$, $b=3$, $d=15$. Необходимо найти $c$. Из пропорции следует, что $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем известные значения: $c = \frac{1 \cdot 15}{3} = \frac{15}{3} = 5$. Ответ: 5.

Расчет для столбца 2

Даны значения: $a=2$, $c=3,5$, $d=10,5$. Необходимо найти $b$. Из пропорции следует, что $b = \frac{a \cdot d}{c}$. Подставляем известные значения: $b = \frac{2 \cdot 10,5}{3,5} = \frac{21}{3,5} = \frac{210}{35} = 6$. Ответ: 6.

Расчет для столбца 3

Даны значения: $a=2,4$, $b=4,8$, $c=1$. Необходимо найти $d$. Из пропорции следует, что $d = \frac{b \cdot c}{a}$. Подставляем известные значения: $d = \frac{4,8 \cdot 1}{2,4} = 2$. Ответ: 2.

Расчет для столбца 4

Даны значения: $a=1\frac{1}{2}$, $b=2\frac{1}{4}$, $d=5,2$. Необходимо найти $c$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $a = \frac{3}{2}$, $b = \frac{9}{4}$, $d = 5,2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}$. Из пропорции $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем значения: $c = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{26}{5}}{\frac{9}{4}} = \frac{3 \cdot 26}{2 \cdot 5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 26 \cdot 4}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 26 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{52}{15} = 3\frac{7}{15}$. Ответ: $3\frac{7}{15}$.

Расчет для столбца 5

Даны значения: $b=\frac{4}{5}$, $c=2\frac{1}{3}$, $d=2,8$. Необходимо найти $a$. Переведем числа в обыкновенные дроби: $b = \frac{4}{5}$, $c = \frac{7}{3}$, $d = 2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$. Из пропорции $a = \frac{b \cdot c}{d}$. Подставляем значения: $a = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}}{\frac{14}{5}} = \frac{28}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 14 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 14} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

Расчет для столбца 6

Даны значения: $a=3x$, $b=2x$, $d=0,7$. Необходимо найти $c$. Предполагаем, что $x \neq 0$. Из пропорции $c = \frac{a \cdot d}{b}$. Подставляем значения: $c = \frac{3x \cdot 0,7}{2x} = \frac{3 \cdot 0,7}{2} = \frac{2,1}{2} = 1,05$. Ответ: 1,05.

Расчет для столбца 7

Даны значения: $a=5,2a$, $c=2,1$, $d=0,6$. Необходимо найти $b$. В данном случае в ячейке для $a$ стоит выражение $5,2a$, где $a$ - это переменная. Из пропорции $b = \frac{a_{value} \cdot d}{c}$. Подставляем значения: $b = \frac{5,2a \cdot 0,6}{2,1} = \frac{3,12a}{2,1} = \frac{312a}{210} = \frac{52a}{35}$. Ответ: $\frac{52}{35}a$.

Расчет для столбца 8

Даны значения: $a=3\frac{2}{5}$, $b=1,5$. Необходимо найти пару значений $c$ и $d$. Сначала найдем отношение $\frac{a}{b} = \frac{3\frac{2}{5}}{1,5} = \frac{17/5}{3/2} = \frac{17}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{34}{15}$. Следовательно, отношение $\frac{c}{d}$ также должно быть равно $\frac{34}{15}$. Мы можем выбрать любую подходящую пару чисел, например, самую простую: $c=34$ и $d=15$. Ответ: например, $c=34, d=15$.

Расчет для столбца 9

Даны значения: $c=2\frac{3}{4}$, $d=3\frac{2}{3}$. Необходимо найти пару значений $a$ и $b$. Сначала найдем отношение $\frac{c}{d} = \frac{2\frac{3}{4}}{3\frac{2}{3}} = \frac{11/4}{11/3} = \frac{11}{4} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{4}$. Следовательно, отношение $\frac{a}{b}$ также должно быть равно $\frac{3}{4}$. Мы можем выбрать любую подходящую пару чисел, например, самую простую: $a=3$ и $b=4$. Ответ: например, $a=3, b=4$.

Решение 3.

Решение 4.