Номер 3.172, страница 151, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

23. Длина окружности и площадь круга. Шар. Параграф 3. Отношения и пропорции. Часть 1 - номер 3.172, страница 151.

Условие.

3.172. Сделайте необходимые измерения и вычислите площади закрашенных фигур, изображённых на рисунке 3.52.

Решение 1.

3.172

1 рисунок:

R₁ = 2,2 см – радиус большого круга

${\mathrm{S}}_1 = {{\mathrm{\pi R}}_1}^2 = \mathrm{\pi } · 2,2^2 = 4,84\mathrm{\pi }$(см²) – площадь полного большого круга

$4,84\pi : 2 = 2,42\pi$(см²) – площадь большого полукруга

r₁ = 1,1 см – радиус малых кругов

${\mathrm{S}}_1 = {{\mathrm{\pi r}}_1}^2 = \mathrm{\pi } · 1,1^2 = 1,21\mathrm{\pi }$(см²) – площадь каждого из малых полных кругов

$1,21\pi : 2 · 2 = 1,21\pi$(см²) – сумма площадей малых полукругов

$2,42\pi – 1,21\pi = 1,21\pi = 1,21 · 3,14 = 3,7994$(см²) – площадь закрашенной части фигуры

Ответ: 3,7994 см².

2 рисунок:

$S_1 = 2,5 · 4,5 = 11,25$(см²) – площадь прямоугольника

r = 0,8 см – радиус каждого из малых кругов

Вместе они составляют круг радиусом 0,8 см.

${\mathrm{S}}_2 = {\mathrm{\pi r}}^2 = \mathrm{\pi } · 0,8^2 = 0,64\mathrm{\pi } = 0,64 · 3,14 = 2,0096$(см²) – площадь не закрашенной части

$S = S_1 – S_2 = 11,25 – 2,0096 = 9,2404$(см²) – площадь закрашенной части

Ответ: 9,2404 см².

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо сначала провести анализ фигур, выразить их площади через один общий параметр, а затем выполнить измерение этого параметра и вычислить численные значения площадей. В качестве общего параметра выберем радиус малых дуг.

Розовая фигура

Розовая фигура образована большим полукругом, из которого вырезаны два малых полукруга. Пусть радиус каждого из двух малых полукругов равен a. Тогда их диаметр равен $2a$. Прямолинейный вертикальный отрезок, ограничивающий фигуру справа, состоит из двух таких диаметров, поэтому его общая длина H равна $H = 2 \cdot (2a) = 4a$.

Большая дуга слева является полуокружностью с диаметром, равным H. Следовательно, радиус большого полукруга R равен $R = H/2 = 4a/2 = 2a$.

Площадь фигуры ($S_{розовая}$) можно найти как разность площади большого полукруга ($S_{БП}$) и удвоенной площади малого полукруга ($S_{МП}$).

Площадь большого полукруга: $S_{БП} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (2a)^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 4a^2 = 2\pi a^2$.

Площадь одного малого полукруга: $S_{МП} = \frac{1}{2}\pi a^2$.

Площадь розовой фигуры: $S_{розовая} = S_{БП} - 2 \cdot S_{МП} = 2\pi a^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}\pi a^2) = 2\pi a^2 - \pi a^2 = \pi a^2$.

Теперь необходимо измерить параметр a. Измерим на рисунке диаметр малого полукруга, который равен $2a$. Допустим, измерение дает нам 2 см. Тогда $2a = 2$ см, откуда $a = 1$ см.

Подставим значение a в формулу площади: $S_{розовая} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$: $S_{розовая} \approx 3,14$ см$^2$.

Ответ: Площадь розовой фигуры равна $\pi a^2$, где a - радиус малого полукруга. При $a = 1$ см, площадь равна $\pi \approx 3,14$ см$^2$.

Зеленая фигура

Зеленая фигура представляет собой прямоугольник, из которого сверху и снизу вырезано по одному полукругу. Эти два полукруга вместе образуют целый круг.

Судя по рисунку, радиус вырезанных полукругов совпадает с радиусом a малых полукругов из первой фигуры. Ширина прямоугольника W равна диаметру этого круга, то есть $W = 2a$.

Высота прямоугольника H по построению равна высоте прямолинейного отрезка в первой фигуре, то есть $H = 4a$.

Площадь зеленой фигуры ($S_{зеленая}$) равна площади прямоугольника ($S_{прям}$) минус площадь круга ($S_{круга}$), образованного двумя полукругами.

Площадь прямоугольника: $S_{прям} = W \cdot H = (2a) \cdot (4a) = 8a^2$.

Площадь вырезанного круга с радиусом a: $S_{круга} = \pi a^2$.

Площадь зеленой фигуры: $S_{зеленая} = S_{прям} - S_{круга} = 8a^2 - \pi a^2 = (8 - \pi)a^2$.

Используем то же значение $a = 1$ см, полученное из измерений.

Подставляем в формулу: $S_{зеленая} = (8 - \pi) \cdot (1 \text{ см})^2 = (8 - \pi)$ см$^2$.

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$: $S_{зеленая} \approx 8 - 3,14 = 4,86$ см$^2$.

Ответ: Площадь зеленой фигуры равна $(8 - \pi)a^2$, где a - радиус вырезанного полукруга. При $a = 1$ см, площадь равна $8 - \pi \approx 4,86$ см$^2$.

Решение 3.

Решение 4.