Страница 146, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.136. Могут ли пересекаться:

а) два отрезка, симметричные относительно прямой;
б) два центрально–симметричных отрезка?

Ответы проиллюстрируйте рисунком.

3.136

а) два отрезка, симметричные относительно прямой, пересекаться могут

Отрезки АВ и РС симметричны относительно прямой и пересекаются.

б) два центрально – симметричных отрезка пересекаться могут, если центр симметрии находится на самом отрезке

Отрезки АВ и РК симметричны относительно точки О и пересекаются.

а) два отрезка, симметричные относительно прямой;

Да, два отрезка, симметричные относительно прямой (осевая симметрия), могут пересекаться.

Пусть у нас есть прямая $l$, которая является осью симметрии, и отрезок $AB$. Отрезок $A'B'$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $l$, строится следующим образом: для каждой точки отрезка $AB$ находится симметричная ей точка относительно прямой $l$. В частности, концы отрезка $A'$ и $B'$ симметричны концам $A$ и $B$.

Два таких отрезка, $AB$ и $A'B'$, будут пересекаться в том и только в том случае, если исходный отрезок $AB$ пересекает ось симметрии $l$.

Пусть отрезок $AB$ пересекает прямую $l$ в точке $M$. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе. Следовательно, точка $M$, принадлежащая прямой $l$, симметрична самой себе ($M' = M$).
Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, ее симметричный образ (то есть сама точка $M$) должен лежать на симметричном отрезке $A'B'$. Таким образом, точка $M$ является общей точкой для обоих отрезков, то есть точкой их пересечения.

На рисунке ниже показан отрезок $AB$ (синий), пересекающий ось симметрии $l$ в точке $M$. Отрезок $A'B'$ (красный) симметричен отрезку $AB$ относительно прямой $l$. Оба отрезка пересекаются в точке $M$, которая лежит на оси симметрии.

Ответ: Да, могут.

б) два центрально-симметричных отрезка?

Да, два центрально-симметричных отрезка могут пересекаться.

Пусть у нас есть центр симметрии — точка $O$, и отрезок $AB$. Отрезок $A'B'$, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$, строится так, что точка $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Центральная симметрия эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг центра $O$.

Два таких отрезка, $AB$ и $A'B'$, будут пересекаться в том и только в том случае, если центр симметрии $O$ лежит на прямой, содержащей исходный отрезок $AB$. Если при этом точка $O$ также принадлежит самому отрезку $AB$, то она будет и точкой пересечения.

Если точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ отрезок $AB$ перейдет в отрезок $A'B'$, который также будет содержать точку $O$. Таким образом, точка $O$ будет общей для обоих отрезков и, следовательно, точкой их пересечения.

На рисунке ниже показан случай, когда центр симметрии $O$ является общим концом для двух отрезков: $AO$ (синий) и симметричного ему отрезка $A'O$ (красный). Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $O$, а точка $O$ симметрична самой себе. Отрезки $AO$ и $A'O$ пересекаются в точке $O$.

Ответ: Да, могут.

3.137. На рисунке 3.34 изображена шахматная доска. Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии; центр симметрии?

3.137

У шахматной доски 4 оси симметрии, т.к. она является квадратом.

Центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.

Рассмотрим симметрию игрового поля стандартной шахматной доски размером 8x8 клеток с учетом ее расцветки.

Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии

Ось симметрии — это прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для шахматной доски необходимо, чтобы совпадала не только форма, но и расцветка клеток.

1. Горизонтальная и вертикальная оси. Прямые, проходящие через середину доски параллельно ее сторонам, не являются осями симметрии. При отражении относительно этих линий клетки одного цвета переходят в клетки другого цвета. Например, при отражении относительно горизонтальной средней линии, проходящей между 4-й и 5-й горизонталями, белая клетка перейдет в черную, а черная — в белую.

2. Диагональные оси. Две главные диагонали доски являются осями симметрии. Чтобы это доказать, пронумеруем строки и столбцы от 1 до 8. Цвет клетки с координатами $(i, j)$ зависит от четности суммы $i+j$.

• При отражении относительно первой главной диагонали клетка $(i, j)$ переходит в клетку $(j, i)$. Так как суммы $i+j$ и $j+i$ имеют одинаковую четность, цвета клеток совпадают.
• При отражении относительно второй главной диагонали клетка $(i, j)$ переходит в клетку $(9-j, 9-i)$. Сумма координат новой клетки $(9-j)+(9-i) = 18-(i+j)$ имеет ту же четность, что и сумма $i+j$. Следовательно, цвета клеток также совпадают.

Ответ: да, у поля шахматной доски есть две оси симметрии — это ее главные диагонали.

Есть ли у поля шахматной доски центр симметрии

Центр симметрии — это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура переходит сама в себя. Для шахматной доски такой точкой является ее геометрический центр — точка пересечения диагоналей.

При повороте на $180^\circ$ вокруг центра доски клетка с координатами $(i, j)$ переходит в клетку с координатами $(9-i, 9-j)$. Как было показано в предыдущем пункте, суммы координат $i+j$ и $(9-i)+(9-j)$ имеют одинаковую четность. Это значит, что любая клетка при таком повороте переходит в клетку того же цвета, и вся доска (с ее расцветкой) переходит в саму себя.

Ответ: да, у поля шахматной доски есть центр симметрии — это ее геометрический центр (точка пересечения диагоналей).

3.138. Построили фигуру, симметричную циферблату часов (рис. 3.35) относительно:

а) центра циферблата;
б) некоторой точки, находящейся на окружности циферблата.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный? Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.

3.138

а) симметричный циферблат будет зеркальным изображением исходного, но стрелки поменяются местами. Направление движения стрелок не изменится.

б) симметричный циферблат будет равен исходному, но расположен вниз головой. Направление движения стрелок не изменится.

а) центра циферблата;
При построении фигуры, симметричной циферблату часов относительно его центра, выполняется преобразование центральной симметрии. Центр циферблата является центром симметрии.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный?
Нет, симметричный циферблат не будет таким же, как исходный. Хотя сама форма (окружность и расположение рисок) сохранится, так как она центрально-симметрична, числовые обозначения на нем изменят свое положение. При симметрии относительно центра каждая точка фигуры переходит в точку, расположенную на таком же расстоянии от центра, но с противоположной стороны. Это означает, что:

• Цифра 12 поменяется местами с цифрой 6.
• Цифра 1 поменяется местами с цифрой 7.
• Цифра 2 поменяется местами с цифрой 8.
• Цифра 3 поменяется местами с цифрой 9.
• Цифра 4 поменяется местами с цифрой 10.
• Цифра 5 поменяется местами с цифрой 11.

Таким образом, несмотря на то что внешне циферблат будет выглядеть как круг с делениями, расположение чисел на нем будет отличаться от стандартного.

Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.
Направление движения стрелок останется прежним, то есть по часовой стрелке. Центр вращения совпадает с центром симметрии. Если представить, что стрелка движется от 12 к 1, то ее симметричное отображение будет двигаться от 6 к 7. Это движение также происходит по часовой стрелке.

Ответ: Симметричный циферблат не будет таким же, как исходный, так как числа на нем будут расположены по-другому. Направление движения стрелок останется прежним — по часовой стрелке.

б) некоторой точки, находящейся на окружности циферблата.
В этом случае преобразование симметрии выполняется относительно точки, лежащей на самой окружности циферблата.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный?
Нет, симметричный циферблат не окажется таким же, как исходный. Пусть исходный циферблат имеет центр в точке $O$ и радиус $R$, а центром симметрии выбрана точка $S$ на его окружности. При симметрии относительно точки $S$ центр исходного циферблата $O$ перейдет в новую точку $O'$, причем точка $S$ будет серединой отрезка $OO'$. Вся окружность циферблата перейдет в новую окружность того же радиуса $R$, но с центром в точке $O'$. Исходный и симметричный циферблаты будут касаться друг друга в точке $S$. Таким образом, полученная фигура будет смещена относительно исходной.

Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.
Направление движения стрелок останется прежним — по часовой стрелке. Стрелки на новом циферблате будут вращаться вокруг нового центра $O'$. Хотя преобразование симметрии изменяет положение циферблата, оно сохраняет характер вращательного движения. Если рассмотреть небольшой поворот стрелки на исходных часах, то соответствующий поворот симметричной стрелки на новом циферблате будет происходить в ту же сторону. Например, если точка симметрии находится на 3 часах, то движение стрелки от 12 к 1 на исходных часах (по часовой стрелке) отобразится в движение симметричной стрелки от 6 к 7 на новом циферблате, что также является движением по часовой стрелке.

Ответ: Симметричный циферблат не будет таким же, как исходный; он будет представлять собой другую окружность того же размера, но смещенную в пространстве. Направление движения стрелок на симметричных часах останется прежним — по часовой стрелке.

3.139. Вычислите.

3.139

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 800 : 16 = 50; \\ 50 · 7 = 350; \\ 350 – 80 = 270; \\ 270 : 30 = 9; \\ 9 · 15 = 135. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }309 + 541 = 850; \\ 850 – 220 = 630; \\ 630 : 70 = 9; \\ 9 · 14 = 126; \\ 126 : 12 = 10,5. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }5 – 3,4 = 1,6; \\ 1,6 · 4 = 6,4; \\ 6,4 + 2,7 = 9,1; \\ 9,1 : 13 = 0,7; \\ 0,7 · 0,03 = 0,021. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 2,4 + 3,6 = 6; \\ 6 : 1,5 = 60 : 15 = 4; \\ 4 · 0,125 = 0,5; \\ 0,5 + 4 = 4,5; \\ 4,5 : 0,03 = 450 : 3 = 150. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }7,5 : 25 = 0,3; \\ 0,3 · 1,6 = 0,48; \\ 0,48 + 0,12 = 0,6; \\ 0,6 : 0,15 = 60 : 15 = 4; \\ 4 – 0,1 = 3,9. \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления по порядку:
1) $800 : 16 = 50$
2) $50 \cdot 7 = 350$
3) $350 - 80 = 270$
4) $270 : 30 = 9$
5) $9 : 15 = 0,6$
Ответ: 0,6

б) Выполним вычисления по порядку:
1) $309 + 541 = 850$
2) $850 - 220 = 630$
3) $630 : 70 = 9$
4) $9 : 14 = \frac{9}{14}$
5) $\frac{9}{14} : 12 = \frac{9}{14 \cdot 12} = \frac{3}{14 \cdot 4} = \frac{3}{56}$
Ответ: $\frac{3}{56}$

в) Выполним вычисления по порядку:
1) $5 - 3,4 = 1,6$
2) $1,6 \cdot 4 = 6,4$
3) $6,4 + 2,7 = 9,1$
4) $9,1 : 13 = 0,7$
5) $0,7 \cdot 0,03 = 0,021$
Ответ: 0,021

г) Выполним вычисления по порядку:
1) $2,4 + 3,6 = 6$
2) $6 : 1,5 = 4$
3) $4 - 0,125 = 3,875$
4) $3,875 + 4 = 7,875$
5) $7,875 : 0,03 = 787,5 : 3 = 262,5$
Ответ: 262,5

д) Выполним вычисления по порядку:
1) $7,5 : 25 = 0,3$
2) $0,3 \cdot 1,6 = 0,48$
3) $0,48 + 0,12 = 0,6$
4) $0,6 : 0,15 = 4$
5) $4 - 0,1 = 3,9$
Ответ: 3,9

3.140. Поставьте знак действия вместо знака вопроса, чтобы получилось верное равенство:

а) 35 ? 16 = 2330; б) 1736 ? 49 = 1781; в) 910 ? 11945 = 1,28; г) 225 ? 135 = 32125; д) 379 ? 23581 = 12881; е) 189 ? 16 = 1113.

3.140

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)\mathbf{·}\mathbf{6}}} + {\frac{1}{6}}^{\overline{)·5}} = \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{23}{30};$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{36}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{9} = \frac{17}{9} · \frac{1}{9} = \frac{17}{81};$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{9}{10} · 1\frac{19}{45} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{10} · \frac{64}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{45}}}} = \\ = \frac{1}{10} · \frac{64}{5} = {\frac{64}{50}}^{\overline{)·2}} = \frac{128}{100} = 1,28; \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)} 2\frac{2}{5} · 1\frac{3}{5} = \frac{12}{5} · \frac{8}{5} = \frac{96}{25} = 3\frac{21}{25};$

$\mathit{д}\mathbf{)} {3\frac{7}{9}}^{\overline{)·9}} - 2\frac{35}{81} = 3\frac{63}{81}- 2\frac{35}{81} =1\frac{28}{81};$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{8}{9} : \frac{1}{6} = \frac{17}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{1} = \frac{17}{3} · \frac{2}{1} = \frac{34}{3} = 11\frac{1}{3}.$

а) Чтобы определить, какой знак действия пропущен, нужно проверить все четыре арифметических действия. Удобнее всего сначала привести дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{1}{6} $ равен $ 5 \cdot 6 = 30 $.
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30} $
Теперь проверим действие сложения:
$ \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{18 + 5}{30} = \frac{23}{30} $
Результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, пропущенный знак — это плюс (+).
Ответ: +

б) Проверим, какой знак действия нужно подставить в выражение $ \frac{17}{36} \ ? \ \frac{4}{9} = \frac{17}{81} $.
Заметим, что числитель первой дроби (17) совпадает с числителем результата. Это может указывать на умножение или деление. Проверим умножение:
$ \frac{17}{36} \times \frac{4}{9} = \frac{17 \cdot 4}{36 \cdot 9} $
Сократим дробь на 4:
$ \frac{17 \cdot 4}{36 \cdot 9} = \frac{17}{9 \cdot 9} = \frac{17}{81} $
Результат совпадает с правой частью равенства. Следовательно, пропущенный знак — это умножение (×).
Ответ: ×

в) Для решения равенства $ \frac{9}{10} \ ? \ 1\frac{19}{45} = 1,28 $ преобразуем все его части в обыкновенные дроби.
$ 1\frac{19}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 19}{45} = \frac{64}{45} $
$ 1,28 = \frac{128}{100} = \frac{32}{25} $
Получаем равенство: $ \frac{9}{10} \ ? \ \frac{64}{45} = \frac{32}{25} $.
Проверим действие умножения:
$ \frac{9}{10} \times \frac{64}{45} = \frac{9 \cdot 64}{10 \cdot 45} = \frac{9 \cdot 64}{10 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{64}{10 \cdot 5} = \frac{64}{50} = \frac{32}{25} $
Результат совпадает. Следовательно, пропущенный знак — это умножение (×).
Ответ: ×

г) Рассмотрим равенство $ 2\frac{2}{5} \ ? \ 1\frac{3}{5} = 3\frac{21}{25} $. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.
$ 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} $
$ 1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5} $
$ 3\frac{21}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 21}{25} = \frac{75 + 21}{25} = \frac{96}{25} $
Получаем: $ \frac{12}{5} \ ? \ \frac{8}{5} = \frac{96}{25} $.
Проверим действие умножения:
$ \frac{12}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{12 \cdot 8}{5 \cdot 5} = \frac{96}{25} $
Результат совпадает. Следовательно, пропущенный знак — это умножение (×).
Ответ: ×

д) Рассмотрим равенство $ 3\frac{7}{9} \ ? \ 2\frac{35}{81} = 1\frac{28}{81} $. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 3\frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{34}{9} $
$ 2\frac{35}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 35}{81} = \frac{162 + 35}{81} = \frac{197}{81} $
$ 1\frac{28}{81} = \frac{1 \cdot 81 + 28}{81} = \frac{109}{81} $
Получаем: $ \frac{34}{9} \ ? \ \frac{197}{81} = \frac{109}{81} $.
Приведем дробь $ \frac{34}{9} $ к знаменателю 81:
$ \frac{34}{9} = \frac{34 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{306}{81} $
Теперь проверим действие вычитания:
$ \frac{306}{81} - \frac{197}{81} = \frac{306 - 197}{81} = \frac{109}{81} $
Результат совпадает. Следовательно, пропущенный знак — это минус (-).
Ответ: -

е) Рассмотрим равенство $ 1\frac{8}{9} \ ? \ \frac{1}{6} = 11\frac{1}{3} $. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 1\frac{8}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{17}{9} $
$ 11\frac{1}{3} = \frac{11 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{34}{3} $
Получаем: $ \frac{17}{9} \ ? \ \frac{1}{6} = \frac{34}{3} $.
Проверим действие деления (которое эквивалентно умножению на обратную дробь):
$ \frac{17}{9} \div \frac{1}{6} = \frac{17}{9} \times \frac{6}{1} = \frac{17 \cdot 6}{9} $
Сократим дробь на 3:
$ \frac{17 \cdot (2 \cdot 3)}{3 \cdot 3} = \frac{17 \cdot 2}{3} = \frac{34}{3} $
Результат совпадает. Следовательно, пропущенный знак — это деление (÷).
Ответ: ÷

3.141. Некоторое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя дроби 3141 · Найдите это число, если после сокращения получили дробь 45.

3.141

Пусть х – искомое число, тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{32 + х}{41 - х} = \frac{4}{5} \\ 5 · \left(32 + х\right) = 4 · \left(41 - х\right); \\ 155 + 5х = 164 – 4х; \\ \mathrm{прибавим} \mathrm{к} \mathrm{обеим} \mathrm{частям} 4х \\ 155 + 5х + 4х = 164 – 4х + 4х; \\ 155 + 9х = 164; \\ 9х = 164 – 155; \\ 9х = 9; \\ х = 1 : 1; \\ х = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

Пусть искомое число равно $x$. Согласно условию задачи, это число прибавили к числителю дроби $\frac{31}{41}$ и вычли из ее знаменателя. Новая дробь имеет вид $\frac{31 + x}{41 - x}$. После сокращения эта дробь стала равна $\frac{4}{5}$. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{31 + x}{41 - x} = \frac{4}{5}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное умножение):
$5 \cdot (31 + x) = 4 \cdot (41 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5 \cdot 31 + 5 \cdot x = 4 \cdot 41 - 4 \cdot x$
$155 + 5x = 164 - 4x$

Теперь сгруппируем слагаемые: перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$5x + 4x = 164 - 155$

Упростим обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание:
$9x = 9$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 9:
$x = \frac{9}{9}$
$x = 1$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=1$ в исходное преобразование дроби:
$\frac{31 + 1}{41 - 1} = \frac{32}{40}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 32 и 40 равен 8.
$\frac{32 \div 8}{40 \div 8} = \frac{4}{5}$
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, найденное число верное.

Ответ: 1

3.142. Масштаб карты 10 : 1 000 000. Заполните таблицу.

3.142

10 : 1 000 000

$$\begin{gathered} \frac{х}{10} = \frac{10}{1 000 000}; \\ х = \frac{10 · 10}{1 000 000}=\frac{1}{10 000}=0,0001 \left(\mathrm{км}\right) = 10 \left(\mathrm{см}\right). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{3}{10} = \frac{х}{1 000 000}; \\ х = \frac{3 · 1 000 000}{10} = 300 000 \left(\mathrm{см}\right) = 3 \left(\mathrm{км}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{х}{10} = \frac{45}{1 000 000}; \\ х = \frac{10 · 45}{ 1 000 000}=\frac{40}{1 000 000}=0,00045 \left(\mathrm{км}\right) = 45 \left(\mathrm{см}\right). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{х}{10} = \frac{1,5}{1 000 000}; \\ х = \frac{10 · 1,5}{ 1 000 000}=\frac{1,5}{100 000}=0,000015 \left(\mathrm{км}\right) = 1,5 \left(\mathrm{см}\right). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{12}{10} = \frac{х}{1 000 000}; \\ х = \frac{12 · 1 000 000}{10} = 1 200 000 \left(\mathrm{мм}\right) = 1,2 \left(\mathrm{км}\right). \end{gathered}$$

Масштаб карты $10 : 1\;000\;000$. Для удобства расчетов упростим его, разделив обе части на 10. Получим масштаб $1 : 100\;000$.

Это означает, что 1 сантиметр на карте соответствует $100\;000$ сантиметрам на местности. Переведем сантиметры на местности в километры:
$100\;000 \text{ см} = 1000 \text{ м} = 1 \text{ км}$.

Таким образом, мы получаем простое соотношение: 1 см на карте соответствует 1 км на местности.
Теперь, используя это соотношение, заполним пустые ячейки таблицы.

Найдем длину отрезка на карте для расстояния 10 км:
Если 1 км на местности равен 1 см на карте, то 10 км на местности будут соответствовать 10 см на карте.
Расчет: $10 \text{ км (местность)} \times \frac{1 \text{ см (карта)}}{1 \text{ км (местность)}} = 10 \text{ см}$.
Ответ: 10 см.

Найдем расстояние на местности для отрезка 3 см:
Если 1 см на карте соответствует 1 км на местности, то 3 см на карте будут соответствовать 3 км на местности.
Расчет: $3 \text{ см (карта)} \times \frac{1 \text{ км (местность)}}{1 \text{ см (карта)}} = 3 \text{ км}$.
Ответ: 3 км.

Найдем длину отрезка на карте для расстояния 45 км:
Если 1 км на местности равен 1 см на карте, то 45 км на местности будут соответствовать 45 см на карте.
Расчет: $45 \text{ км (местность)} \times \frac{1 \text{ см (карта)}}{1 \text{ км (местность)}} = 45 \text{ см}$.
Ответ: 45 см.

Найдем длину отрезка на карте для расстояния 1,5 км:
Если 1 км на местности равен 1 см на карте, то 1,5 км на местности будут соответствовать 1,5 см на карте.
Расчет: $1,5 \text{ км (местность)} \times \frac{1 \text{ см (карта)}}{1 \text{ км (местность)}} = 1,5 \text{ см}$.
Ответ: 1,5 см.

Найдем расстояние на местности для отрезка 12 мм:
Сначала переведем длину отрезка на карте из миллиметров в сантиметры: $12 \text{ мм} = 1,2 \text{ см}$.
Теперь, используя соотношение 1 см на карте = 1 км на местности, найдем реальное расстояние:
Расчет: $1,2 \text{ см (карта)} \times \frac{1 \text{ км (местность)}}{1 \text{ см (карта)}} = 1,2 \text{ км}$.
Ответ: 1,2 км.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

3.143. На карте капитана длина маршрута корабля равна 18 см. Найдите масштаб карты, если корабль прошёл 720 км.

3.143

$$\begin{gathered} \frac{18}{1} = \frac{72 000 000}{х}; \\ х = \frac{1 · 72 000 000}{18} = 4 000 000 \end{gathered}$$

Ответ: 1 : 4000000.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его реальной длине на местности. Чтобы найти масштаб, необходимо выразить обе длины в одинаковых единицах измерения.

В данной задаче нам известно, что длина маршрута на карте составляет 18 см, а реальная длина этого маршрута — 720 км.

1. Приведение длин к единой единице измерения.
Удобнее всего перевести километры в сантиметры. Для этого вспомним соотношения единиц длины:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Отсюда следует, что:
$1 \text{ км} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\;000 \text{ см}$.

Теперь вычислим, сколько сантиметров в 720 километрах:
$720 \text{ км} = 720 \times 100\;000 \text{ см} = 72\;000\;000 \text{ см}$.

2. Нахождение отношения и определение масштаба.
Теперь, когда обе длины выражены в сантиметрах, мы можем составить отношение длины на карте к реальной длине:
$18 \text{ см} : 72\;000\;000 \text{ см}$

Масштаб принято представлять в формате $1:N$. Для этого нужно упростить полученное отношение, разделив обе его части на 18:
$\frac{18}{18} : \frac{72\;000\;000}{18}$
Выполнив деление, получаем:
$1 : 4\;000\;000$
(Так как $72 \div 18 = 4$, то $72\;000\;000 \div 18 = 4\;000\;000$).

Таким образом, масштаб карты составляет 1 к 4 000 000. Это означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 4 000 000 сантиметров (или 40 км) на местности.

Ответ: 1:4 000 000.

3.144. 1) Изображение цветка алиссума на фото увеличено в 15 раз. В каком масштабе дано изображение на фото?

2) Изображение детали на чертеже уменьшено в 25 раз. В каком масштабе выполнен чертёж?

3.144

1) масштаб изображения 15 : 1

2) масштаб изображения 1 : 25

1) Масштаб — это отношение размера объекта на изображении к его реальному размеру. Если изображение цветка на фото увеличено в 15 раз, это означает, что размер на фото в 15 раз больше, чем реальный размер цветка. Масштаб записывается как отношение размера на изображении к реальному размеру.

Пусть $L_{фото}$ — это размер на фото, а $L_{реал}$ — это реальный размер.

По условию, $L_{фото} = 15 \times L_{реал}$.

Тогда отношение, то есть масштаб, будет:

$L_{фото} : L_{реал} = (15 \times L_{реал}) : L_{реал}$

Сократив обе части на $L_{реал}$, получаем масштаб увеличения:

$15 : 1$

Ответ: $15:1$.

2) Аналогично первому пункту, масштаб показывает отношение размера на чертеже к реальному размеру детали. Если изображение детали уменьшено в 25 раз, это значит, что размер на чертеже в 25 раз меньше реального размера детали.

Пусть $L_{чертеж}$ — это размер на чертеже, а $L_{реал}$ — это реальный размер детали.

По условию, $L_{чертеж} = L_{реал} \div 25$, или $25 \times L_{чертеж} = L_{реал}$.

Масштаб — это отношение:

$L_{чертеж} : L_{реал}$

Подставим вместо $L_{реал}$ его выражение через $L_{чертеж}$:

$L_{чертеж} : (25 \times L_{чертеж})$

Сократив обе части на $L_{чертеж}$, получаем масштаб уменьшения:

$1 : 25$

Ответ: $1:25$.