Номер 3.138, страница 146, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 3. Отношения и пропорции. 22. Симметрии - номер 3.138, страница 146.

Условие.

3.138. Построили фигуру, симметричную циферблату часов (рис. 3.35) относительно:

а) центра циферблата;
б) некоторой точки, находящейся на окружности циферблата.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный? Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.

Решение 1.

3.138

а) симметричный циферблат будет зеркальным изображением исходного, но стрелки поменяются местами. Направление движения стрелок не изменится.

б) симметричный циферблат будет равен исходному, но расположен вниз головой. Направление движения стрелок не изменится.

Решение 2.

а) центра циферблата;
При построении фигуры, симметричной циферблату часов относительно его центра, выполняется преобразование центральной симметрии. Центр циферблата является центром симметрии.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный?
Нет, симметричный циферблат не будет таким же, как исходный. Хотя сама форма (окружность и расположение рисок) сохранится, так как она центрально-симметрична, числовые обозначения на нем изменят свое положение. При симметрии относительно центра каждая точка фигуры переходит в точку, расположенную на таком же расстоянии от центра, но с противоположной стороны. Это означает, что:

• Цифра 12 поменяется местами с цифрой 6.
• Цифра 1 поменяется местами с цифрой 7.
• Цифра 2 поменяется местами с цифрой 8.
• Цифра 3 поменяется местами с цифрой 9.
• Цифра 4 поменяется местами с цифрой 10.
• Цифра 5 поменяется местами с цифрой 11.

Таким образом, несмотря на то что внешне циферблат будет выглядеть как круг с делениями, расположение чисел на нем будет отличаться от стандартного.

Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.
Направление движения стрелок останется прежним, то есть по часовой стрелке. Центр вращения совпадает с центром симметрии. Если представить, что стрелка движется от 12 к 1, то ее симметричное отображение будет двигаться от 6 к 7. Это движение также происходит по часовой стрелке.

Ответ: Симметричный циферблат не будет таким же, как исходный, так как числа на нем будут расположены по-другому. Направление движения стрелок останется прежним — по часовой стрелке.

б) некоторой точки, находящейся на окружности циферблата.
В этом случае преобразование симметрии выполняется относительно точки, лежащей на самой окружности циферблата.

Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный?
Нет, симметричный циферблат не окажется таким же, как исходный. Пусть исходный циферблат имеет центр в точке $O$ и радиус $R$, а центром симметрии выбрана точка $S$ на его окружности. При симметрии относительно точки $S$ центр исходного циферблата $O$ перейдет в новую точку $O'$, причем точка $S$ будет серединой отрезка $OO'$. Вся окружность циферблата перейдет в новую окружность того же радиуса $R$, но с центром в точке $O'$. Исходный и симметричный циферблаты будут касаться друг друга в точке $S$. Таким образом, полученная фигура будет смещена относительно исходной.

Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.
Направление движения стрелок останется прежним — по часовой стрелке. Стрелки на новом циферблате будут вращаться вокруг нового центра $O'$. Хотя преобразование симметрии изменяет положение циферблата, оно сохраняет характер вращательного движения. Если рассмотреть небольшой поворот стрелки на исходных часах, то соответствующий поворот симметричной стрелки на новом циферблате будет происходить в ту же сторону. Например, если точка симметрии находится на 3 часах, то движение стрелки от 12 к 1 на исходных часах (по часовой стрелке) отобразится в движение симметричной стрелки от 6 к 7 на новом циферблате, что также является движением по часовой стрелке.

Ответ: Симметричный циферблат не будет таким же, как исходный; он будет представлять собой другую окружность того же размера, но смещенную в пространстве. Направление движения стрелок на симметричных часах останется прежним — по часовой стрелке.

Решение 3.

Решение 4.