Номер 15, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 1. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. 2. Числовые выражения - номер 15, страница 12.

Условие.

15. Найдите значение выражения:

а) $3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3-1}}}$;

б) $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Для нахождения значения данного выражения необходимо производить вычисления последовательно, начиная с самого внутреннего (нижнего) действия в многоэтажной дроби.

1. Выполним вычитание в самом нижнем знаменателе: $3 - 1 = 2$.

Теперь выражение выглядит так: $3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{2}}}$.

2. Далее вычисляем следующий знаменатель: $3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Выражение упрощается до: $3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{\frac{5}{2}}}$.

3. Выполняем деление единицы на дробь (находим обратную дробь): $\frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$.

Теперь выражение выглядит так: $3 - \frac{1}{3 - \frac{2}{5}}$.

4. Вычисляем оставшийся знаменатель: $3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.

Выражение принимает вид: $3 - \frac{1}{\frac{13}{5}}$.

5. Снова выполняем деление единицы на дробь: $\frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$.

Получаем: $3 - \frac{5}{13}$.

6. Завершаем вычисление: $3 - \frac{5}{13} = \frac{3 \cdot 13}{13} - \frac{5}{13} = \frac{39 - 5}{13} = \frac{34}{13}$.

Ответ: $\frac{34}{13}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, вычисляем значение выражения по действиям снизу вверх.

1. Выполним вычитание в самом нижнем знаменателе: $3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.

Теперь выражение выглядит так: $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{8}{3}}}$.

2. Выполняем деление единицы на дробь: $\frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8}$.

Выражение упрощается до: $3 + \frac{1}{3 + \frac{3}{8}}$.

3. Вычисляем оставшийся знаменатель: $3 + \frac{3}{8} = \frac{24}{8} + \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.

Выражение принимает вид: $3 + \frac{1}{\frac{27}{8}}$.

4. Снова выполняем деление единицы на дробь: $\frac{1}{\frac{27}{8}} = \frac{8}{27}$.

Получаем: $3 + \frac{8}{27}$.

5. Завершаем вычисление: $3 + \frac{8}{27} = \frac{3 \cdot 27}{27} + \frac{8}{27} = \frac{81 + 8}{27} = \frac{89}{27}$.

Ответ: $\frac{89}{27}$