Страница 5 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

6. Сравните дроби.

а) $\frac{19}{32}$ и $\frac{16}{27}$

$\frac{19}{32} = 0,59375$

$\frac{16}{27} \approx 0,5925926$

$\frac{19}{32} > \frac{16}{27}$

б) $\frac{11}{24}$ и $\frac{16}{33}$

$\frac{11}{24} \text{......}$

$\frac{16}{33} \text{......}$

$\frac{11}{24} \text{......} \frac{16}{33}$

в) $\frac{9}{55}$ и $\frac{16}{99}$

$\frac{9}{55} \text{......}$

$\frac{16}{99} \text{......}$

$\frac{9}{55} \text{......} \frac{16}{99}$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{19}{32}$ и $\frac{16}{27}$, можно привести их к общему знаменателю. Этот метод позволяет сравнить дроби без преобразования их в десятичные.
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 32 и 27.
Разложим знаменатели на простые множители:
$32 = 2^5$
$27 = 3^3$
Поскольку у чисел 32 и 27 нет общих простых множителей, их НОК равно их произведению:
НОК(32, 27) = $32 \times 27 = 864$.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 864.
Для первой дроби дополнительный множитель равен $864 \div 32 = 27$:
$\frac{19}{32} = \frac{19 \times 27}{32 \times 27} = \frac{513}{864}$
Для второй дроби дополнительный множитель равен $864 \div 27 = 32$:
$\frac{16}{27} = \frac{16 \times 32}{27 \times 32} = \frac{512}{864}$
Теперь сравним полученные дроби с одинаковыми знаменателями, сравнивая их числители:
$513 > 512$
Следовательно, $\frac{513}{864} > \frac{512}{864}$, а значит и $\frac{19}{32} > \frac{16}{27}$.
Ответ: $\frac{19}{32} > \frac{16}{27}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{24}$ и $\frac{16}{33}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Найдем НОК для знаменателей 24 и 33.
Разложим на простые множители:
$24 = 2^3 \times 3$
$33 = 3 \times 11$
НОК(24, 33) = $2^3 \times 3 \times 11 = 8 \times 3 \times 11 = 264$.
Приведем дроби к знаменателю 264.
Дополнительный множитель для первой дроби: $264 \div 24 = 11$.
$\frac{11}{24} = \frac{11 \times 11}{24 \times 11} = \frac{121}{264}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $264 \div 33 = 8$.
$\frac{16}{33} = \frac{16 \times 8}{33 \times 8} = \frac{128}{264}$
Сравниваем числители полученных дробей:
$121 < 128$
Следовательно, $\frac{121}{264} < \frac{128}{264}$, а значит $\frac{11}{24} < \frac{16}{33}$.
Ответ: $\frac{11}{24} < \frac{16}{33}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{55}$ и $\frac{16}{99}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Найдем НОК для знаменателей 55 и 99.
Разложим на простые множители:
$55 = 5 \times 11$
$99 = 3^2 \times 11$
НОК(55, 99) = $3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495$.
Приведем дроби к знаменателю 495.
Дополнительный множитель для первой дроби: $495 \div 55 = 9$.
$\frac{9}{55} = \frac{9 \times 9}{55 \times 9} = \frac{81}{495}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $495 \div 99 = 5$.
$\frac{16}{99} = \frac{16 \times 5}{99 \times 5} = \frac{80}{495}$
Сравниваем числители полученных дробей:
$81 > 80$
Следовательно, $\frac{81}{495} > \frac{80}{495}$, а значит $\frac{9}{55} > \frac{16}{99}$.
Ответ: $\frac{9}{55} > \frac{16}{99}$.

7. Найдите значение выражения.

a) $\frac{8}{9} : \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = $

$\frac{8}{9} : \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{3} \right) = $

б) $1 - \frac{9}{16} : 2\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = $

$\left( 1 - \frac{9}{16} \right) : 2\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = $

$\left( 1 - \frac{9}{16} \right) : \left( 2\frac{1}{4} - \frac{1}{12} \right) = $

$1 - \frac{9}{16} : \left( 2\frac{1}{4} - \frac{1}{12} \right) = $

а)

Для выражения $ \frac{8}{9} : \frac{3}{4} + \frac{2}{3} $ порядок действий следующий: сначала выполняется деление, а затем сложение.

1. Выполняем деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{8}{9} : \frac{3}{4} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{8 \times 4}{9 \times 3} = \frac{32}{27} $.

2. Выполняем сложение. Для этого приводим дроби $ \frac{32}{27} $ и $ \frac{2}{3} $ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 27 и 3 равен 27:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 9}{3 \times 9} = \frac{18}{27} $.
Теперь складываем полученные дроби:
$ \frac{32}{27} + \frac{18}{27} = \frac{32 + 18}{27} = \frac{50}{27} $.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$ \frac{50}{27} = 1\frac{23}{27} $.

Ответ: $1\frac{23}{27}$.

б)

Для выражения $ 1 - \frac{9}{16} : 2\frac{1}{4} - \frac{1}{12} $ порядок действий следующий: сначала выполняется деление, а затем вычитание по порядку слева направо.

1. Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$ 2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} $.

2. Выполняем деление:
$ \frac{9}{16} : \frac{9}{4} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{9} = \frac{9 \times 4}{16 \times 9} $.
Сокращаем одинаковые множители (9) в числителе и знаменателе, получаем $ \frac{4}{16} $. Эту дробь можно сократить на 4: $ \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4} $.

3. Подставляем результат деления обратно в выражение:
$ 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{12} $.

4. Выполняем вычитание слева направо. Сначала $ 1 - \frac{1}{4} $:
$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

5. Теперь вычисляем $ \frac{3}{4} - \frac{1}{12} $. Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $.
Выполняем вычитание:
$ \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9 - 1}{12} = \frac{8}{12} $.

6. Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:
$ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $\frac{2}{3}$.