Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

14. Вычислите.

$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$

$\left(\frac{6}{7}\right)^2 = \text{.................}$

$(-0,2)^4 = \text{.................}$

$(-0,6)^3 = \text{.................}$

$(\frac{6}{7})^2$
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. В данном случае, мы возводим в квадрат числитель 6 и знаменатель 7.
$(\frac{6}{7})^2 = \frac{6^2}{7^2} = \frac{6 \cdot 6}{7 \cdot 7} = \frac{36}{49}$
Ответ: $\frac{36}{49}$

$(-0,2)^4$
Здесь нам нужно возвести отрицательное десятичное число в четвертую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.) результат всегда будет положительным.
$(-0,2)^4 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2)$
Выполним умножение:
$0,2 \cdot 0,2 = 0,04$
$0,04 \cdot 0,2 = 0,008$
$0,008 \cdot 0,2 = 0,0016$
Так как степень 4 — четное число, знак минус исчезает.
Ответ: $0,0016$

$(-0,6)^3$
В этом примере мы возводим отрицательное десятичное число в третью степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (1, 3, 5 и т.д.) результат всегда будет отрицательным.
$(-0,6)^3 = (-0,6) \cdot (-0,6) \cdot (-0,6)$
Выполним умножение модулей чисел:
$0,6 \cdot 0,6 = 0,36$
$0,36 \cdot 0,6 = 0,216$
Так как степень 3 — нечетное число, знак минус сохраняется.
Ответ: $-0,216$

15. Сравните с нулем.

а) $5^{50} > 0$

$(-5)^{50}$ ......

$-(-5)^{50}$ ......

$-5^{50}$ ......

б) $7^{55}$ ......

$(-7)^{55}$ ......

$-(-7)^{55}$ ......

$-7^{55}$ ......

в) $0^{50}$ ......

$(-1)^{50}$ ......

$-1^{50}$ ......

$(-1)^{55}$ ......

а)

$5^{50}$: Основание степени 5 является положительным числом. Любая степень положительного числа всегда будет положительным числом. Следовательно, результат больше нуля.

Ответ: $5^{50} > 0$

$(-5)^{50}$: Основание степени -5 является отрицательным числом, а показатель степени 50 — четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным, так как все знаки "минус" попарно дадут "плюс".

Ответ: $(-5)^{50} > 0$

$-(-5)^{50}$: Сначала выполним операцию возведения в степень. Как мы выяснили выше, $(-5)^{50}$ — это положительное число. Знак "минус" перед скобкой означает, что мы берем число, противоположное результату в скобках. Противоположное положительному числу — это отрицательное число.

Ответ: $-(-5)^{50} < 0$

$-5^{50}$: В данном выражении операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Это означает, что сначала мы возводим 5 в степень 50, получаем положительное число. Затем к этому результату применяется знак "минус", делая его отрицательным. Это эквивалентно записи $-(5^{50})$.

Ответ: $-5^{50} < 0$

б)

$7^{55}$: Основание степени 7 — положительное число. Любая степень положительного числа есть число положительное.

Ответ: $7^{55} > 0$

$(-7)^{55}$: Основание степени -7 — отрицательное число, а показатель степени 55 — нечетное число. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным, так как один знак "минус" останется без пары.

Ответ: $(-7)^{55} < 0$

$-(-7)^{55}$: Сначала вычисляем выражение в скобках. Как мы определили выше, $(-7)^{55}$ — это отрицательное число. Знак "минус" перед скобкой меняет знак результата на противоположный. Противоположное отрицательному числу — это положительное число.

Ответ: $-(-7)^{55} > 0$

$-7^{55}$: Аналогично случаю с $-5^{50}$, сначала вычисляется степень $7^{55}$ (положительное число), а затем к результату применяется знак "минус", делая его отрицательным.

Ответ: $-7^{55} < 0$

в)

$0^{50}$: Ноль, возведенный в любую положительную степень (50 > 0), равен нулю.

Ответ: $0^{50} = 0$

$(-1)^{50}$: Отрицательное основание -1 возводится в четную степень 50. Результатом будет 1, что является положительным числом.

Ответ: $(-1)^{50} > 0$

$-1^{50}$: Сначала вычисляется степень $1^{50}$, что равно 1. Затем к результату применяется знак "минус". Получаем -1, что является отрицательным числом.

Ответ: $-1^{50} < 0$

$(-1)^{55}$: Отрицательное основание -1 возводится в нечетную степень 55. Результатом будет -1, что является отрицательным числом.

Ответ: $(-1)^{55} < 0$

16. Впишите показатель степени.

а) $2^{\dots} = 64$

$3^{\dots} = 81$

$10^{\dots} = 100000$

б) $8^{\dots} = 8$

$5^{\dots} = 625$

$6^{\dots} = 1296$

а)

Для уравнения $2^{\dots} = 64$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести число 2. Выполним последовательное умножение:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
Таким образом, искомый показатель степени равен 6.
Ответ: 6.

Для уравнения $3^{\dots} = 81$ найдем соответствующий показатель степени для числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
Следовательно, показатель степени равен 4.
Ответ: 4.

Для уравнения $10^{\dots} = 100 000$ показатель степени для основания 10 определяется количеством нулей в числе 100 000. В данном числе пять нулей.
Значит, $10^5 = 100 000$.
Ответ: 5.

б)

Для уравнения $8^{\dots} = 8$ применяется свойство степени, согласно которому любое число в первой степени равно самому себе ($a^1 = a$).
Следовательно, показатель степени равен 1.
Ответ: 1.

Для уравнения $5^{\dots} = 625$ найдем показатель степени для числа 5:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Показатель степени равен 4.
Ответ: 4.

Для уравнения $6^{\dots} = 1296$ найдем показатель степени для числа 6:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
$6^4 = 1296$
Показатель степени равен 4.
Ответ: 4.

17. Упростите выражение.

a) $3^2 \cdot 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6$

$6^4 \cdot 6^3 = \dots$

$7^2 \cdot 7^3 = \dots$

$9 \cdot 9^2 \cdot 9^3 = \dots$

б) $3^5 : 3^2 = \frac{3^5}{3^2} = \frac{ \overset{1}{\cancel{3}} \cdot \overset{1}{\cancel{3}} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 }{ \underset{1}{\cancel{3}} \cdot \underset{1}{\cancel{3}} } = 3^3$

$5^7 : 5^3 = \dots$

$9^6 : 9^5 = \dots$

$14^4 : 14 = \dots$

a)

Для упрощения выражений в этом пункте используется правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Решение для $6^4 \cdot 6^3$:
Основание степеней одинаковое и равно 6. Складываем показатели степеней: $4 + 3 = 7$.
В результате получаем: $6^4 \cdot 6^3 = 6^{4+3} = 6^7$.
Ответ: $6^7$.

Решение для $7^2 \cdot 7^3$:
Основание степеней одинаковое и равно 7. Складываем показатели степеней: $2 + 3 = 5$.
В результате получаем: $7^2 \cdot 7^3 = 7^{2+3} = 7^5$.
Ответ: $7^5$.

Решение для $9 \cdot 9^2 \cdot 9^3$:
Все множители имеют одинаковое основание 9. Число 9 можно представить как степень с показателем 1, то есть $9 = 9^1$. Складываем показатели всех степеней: $1 + 2 + 3 = 6$.
В результате получаем: $9 \cdot 9^2 \cdot 9^3 = 9^1 \cdot 9^2 \cdot 9^3 = 9^{1+2+3} = 9^6$.
Ответ: $9^6$.

б)

Для упрощения выражений в этом пункте используется правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. При делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Решение для $5^7 : 5^3$:
Основание степеней одинаковое и равно 5. Вычитаем из показателя делимого показатель делителя: $7 - 3 = 4$.
В результате получаем: $5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$.
Ответ: $5^4$.

Решение для $9^6 : 9^5$:
Основание степеней одинаковое и равно 9. Вычитаем показатели: $6 - 5 = 1$.
В результате получаем: $9^6 : 9^5 = 9^{6-5} = 9^1 = 9$.
Ответ: $9$.

Решение для $14^4 : 14$:
Основание у делимого и делителя одинаковое и равно 14. Делитель 14 можно представить как $14^1$. Вычитаем показатели: $4 - 1 = 3$.
В результате получаем: $14^4 : 14 = 14^4 : 14^1 = 14^{4-1} = 14^3$.
Ответ: $14^3$.