Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

11. Если $a - 1$ равно 10, то чему равны значения $a - 5, a + 3$?

$a - 5 = (a - 1) - 4 = \ldots$

Используя первую строку, заполните остальные строки таблицы.

Данное задание состоит из двух частей. Решим их последовательно.

Часть 1: Нахождение значений выражений

По условию задачи, нам дано, что $a - 1 = 10$.

Сначала найдем значение переменной $a$. Для этого решим уравнение:

$a = 10 + 1$

$a = 11$

Теперь, зная, что $a = 11$, мы можем вычислить значения требуемых выражений.

a - 5

Подставим найденное значение $a = 11$ в выражение:

$a - 5 = 11 - 5 = 6$

Также можно воспользоваться подсказкой в задании, которая показывает, как выразить $a-5$ через $a-1$. Подставим $a-1=10$ в выражение $(a-1)-4$:

$a - 5 = (a - 1) - 4 = 10 - 4 = 6$

Таким образом, пропущенное в уравнении значение равно 6.

Ответ: 6

a + 3

Подставим значение $a = 11$ в это выражение:

$a + 3 = 11 + 3 = 14$

Альтернативно, можно выразить $a+3$ через $a-1$: $a+3 = (a-1)+4$. Подставив $a-1=10$, получаем:

$a+3 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

Часть 2: Заполнение таблицы

Используя первую строку, заполните остальные строки таблицы.

Чтобы заполнить таблицу, установим зависимость между выражениями в разных строках. Возьмем выражение из первой строки $a+2$ за основу.

Выразим $a-4$ (вторая строка) через $a+2$:

$a - 4 = a + 2 - 2 - 4 = (a + 2) - 6$

Это означает, что каждое значение во второй строке будет на 6 меньше соответствующего значения в первой строке.

Теперь выразим $a+5$ (третья строка) через $a+2$:

$a + 5 = a + 2 - 2 + 5 = (a + 2) + 3$

Это означает, что каждое значение в третьей строке будет на 3 больше соответствующего значения в первой строке.

Теперь, используя эти правила, рассчитаем значения для пустых ячеек в каждом столбце:

Столбец 1 (первая строка = 3):
Вторая строка: $3 - 6 = -3$
Третья строка: $3 + 3 = 6$

Столбец 2 (первая строка = 0):
Вторая строка: $0 - 6 = -6$
Третья строка: $0 + 3 = 3$

Столбец 3 (первая строка = -1):
Вторая строка: $-1 - 6 = -7$
Третья строка: $-1 + 3 = 2$

Столбец 4 (первая строка = 10):
Вторая строка: $10 - 6 = 4$
Третья строка: $10 + 3 = 13$

Результаты в виде заполненной таблицы:

Ответ: Вторая строка: -3, -6, -7, 4. Третья строка: 6, 3, 2, 13.

12. Сумма S вида $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$ вычисляется по формуле $S = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Вычислите, используя формулу.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{3} = \dots$

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + 10 \cdot 11 = \dots$

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + 99 \cdot 100 = \dots$

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + 5 · 6

Для вычисления суммы $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1)$ используется формула $S = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

В данном выражении последнее слагаемое равно $5 \cdot 6$. Это соответствует общему виду слагаемого $n(n+1)$, где $n=5$.

Подставим значение $n=5$ в формулу, как это уже сделано в условии:

$S = \frac{5 \cdot (5+1) \cdot (5+2)}{3} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{3}$

Теперь выполним вычисление. Сократим 6 и 3:

$S = 5 \cdot \frac{6}{3} \cdot 7 = 5 \cdot 2 \cdot 7 = 70$

Ответ: 70

1 · 2 + 2 · 3 + ... + 10 · 11

Аналогично первому пункту, находим значение $n$ для данной суммы. Последнее слагаемое равно $10 \cdot 11$, следовательно, $n=10$.

Подставляем $n=10$ в формулу:

$S = \frac{10 \cdot (10+1) \cdot (10+2)}{3} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3}$

Вычисляем результат, предварительно сократив 12 и 3:

$S = 10 \cdot 11 \cdot \frac{12}{3} = 10 \cdot 11 \cdot 4 = 110 \cdot 4 = 440$

Ответ: 440

1 · 2 + 2 · 3 + ... + 99 · 100

В этой сумме последнее слагаемое равно $99 \cdot 100$, значит, $n=99$.

Подставляем $n=99$ в формулу:

$S = \frac{99 \cdot (99+1) \cdot (99+2)}{3} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 101}{3}$

Вычисляем результат, предварительно сократив 99 и 3:

$S = \frac{99}{3} \cdot 100 \cdot 101 = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 3300 \cdot 101$

$S = 3300 \cdot (100 + 1) = 330000 + 3300 = 333300$

Ответ: 333300

13. Запишите выражение короче, используя степени.

а) $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 = 4^6 \cdot 5^3 \cdot 6^2$

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = \dots$

$(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 0,1 = \dots$

$a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b = \dots$

б) $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 + 8 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 8 = 6^3 \cdot 5^2 + 8^3 \cdot 3^2$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \dots$

$(-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) + 6 \cdot (-5) \cdot 6 \cdot (-5) \cdot 6 = \dots$

$p \cdot p \cdot k \cdot k + p \cdot p \cdot p \cdot k \cdot k \cdot k = \dots$

В выражении $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$ необходимо посчитать количество одинаковых множителей и записать их в виде степени.
- Множитель 5 повторяется 4 раза, что равно $5^4$.
- Множитель 7 повторяется 2 раза, что равно $7^2$.
- Множитель 8 повторяется 3 раза, что равно $8^3$.
- Множитель 9 повторяется 4 раза, что равно $9^4$.
Объединив все части, получаем: $5^4 \cdot 7^2 \cdot 8^3 \cdot 9^4$.

Ответ: $5^4 \cdot 7^2 \cdot 8^3 \cdot 9^4$

В выражении $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 0,1$ сгруппируем одинаковые множители.
- Множитель $(-3)$ встречается 5 раз, что можно записать как $(-3)^5$.
- Множитель $0,1$ встречается 4 раза, что можно записать как $(0,1)^4$.
Таким образом, итоговое выражение: $(-3)^5 \cdot (0,1)^4$.

Ответ: $(-3)^5 \cdot (0,1)^4$

В выражении $a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b$ сгруппируем одинаковые переменные.
- Множитель $a$ повторяется 6 раз, что записывается как $a^6$.
- Множитель $b$ повторяется 6 раз, что записывается как $b^6$.
В результате получаем произведение степеней: $a^6b^6$.

Ответ: $a^6b^6$

В выражении $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ упростим каждую часть отдельно.
- Первое произведение: множитель $\frac{1}{2}$ повторяется 2 раза ($(\frac{1}{2})^2$), а множитель $\frac{1}{3}$ — 3 раза ($(\frac{1}{3})^3$). Произведение равно $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{3})^3$.
- Второе произведение (вычитаемое): множитель $\frac{1}{4}$ повторяется 4 раза, что равно $(\frac{1}{4})^4$.
Итоговое выражение: $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{4})^4$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{4})^4$

В выражении $(-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) + 6 \cdot (-5) \cdot 6 \cdot (-5) \cdot 6$ упростим каждое слагаемое.
- Первое слагаемое: множитель $(-8)$ повторяется 4 раза, что равно $(-8)^4$.
- Второе слагаемое: множитель $6$ повторяется 3 раза ($6^3$), а множитель $(-5)$ — 2 раза ($(-5)^2$). Слагаемое равно $6^3 \cdot (-5)^2$.
Сложив полученные выражения, получим: $(-8)^4 + 6^3 \cdot (-5)^2$.

Ответ: $(-8)^4 + 6^3 \cdot (-5)^2$

В выражении $p \cdot p \cdot k \cdot k + p \cdot p \cdot p \cdot k \cdot k \cdot k$ упростим каждое слагаемое.
- Первое слагаемое: множитель $p$ повторяется 2 раза ($p^2$), множитель $k$ — 2 раза ($k^2$). Слагаемое равно $p^2k^2$.
- Второе слагаемое: множитель $p$ повторяется 3 раза ($p^3$), множитель $k$ — 3 раза ($k^3$). Слагаемое равно $p^3k^3$.
Сумма этих слагаемых: $p^2k^2 + p^3k^3$.

Ответ: $p^2k^2 + p^3k^3$