Номер 12, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

1. Дроби и проценты - номер 12, страница 7.

Условие.

12. Сумма S вида $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$ вычисляется по формуле $S = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Вычислите, используя формулу.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{3} = \dots$

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + 10 \cdot 11 = \dots$

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + 99 \cdot 100 = \dots$

Решение.

Решение 2.

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + 5 · 6

Для вычисления суммы $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1)$ используется формула $S = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

В данном выражении последнее слагаемое равно $5 \cdot 6$. Это соответствует общему виду слагаемого $n(n+1)$, где $n=5$.

Подставим значение $n=5$ в формулу, как это уже сделано в условии:

$S = \frac{5 \cdot (5+1) \cdot (5+2)}{3} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{3}$

Теперь выполним вычисление. Сократим 6 и 3:

$S = 5 \cdot \frac{6}{3} \cdot 7 = 5 \cdot 2 \cdot 7 = 70$

Ответ: 70

1 · 2 + 2 · 3 + ... + 10 · 11

Аналогично первому пункту, находим значение $n$ для данной суммы. Последнее слагаемое равно $10 \cdot 11$, следовательно, $n=10$.

Подставляем $n=10$ в формулу:

$S = \frac{10 \cdot (10+1) \cdot (10+2)}{3} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3}$

Вычисляем результат, предварительно сократив 12 и 3:

$S = 10 \cdot 11 \cdot \frac{12}{3} = 10 \cdot 11 \cdot 4 = 110 \cdot 4 = 440$

Ответ: 440

1 · 2 + 2 · 3 + ... + 99 · 100

В этой сумме последнее слагаемое равно $99 \cdot 100$, значит, $n=99$.

Подставляем $n=99$ в формулу:

$S = \frac{99 \cdot (99+1) \cdot (99+2)}{3} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 101}{3}$

Вычисляем результат, предварительно сократив 99 и 3:

$S = \frac{99}{3} \cdot 100 \cdot 101 = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 3300 \cdot 101$

$S = 3300 \cdot (100 + 1) = 330000 + 3300 = 333300$

Ответ: 333300