Номер 18, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

1. Дроби и проценты - номер 18, страница 9.

Условие.

18. Сравните, не вычисляя.

a) $2^9$ ......... $2^{14}$

$-3^5$ ......... $-3^6$

$(-7)^{10}$ ......... $(-7)^8$

$(-5)^5$ ......... $(-5)^3$

б) $1,5^7$ ......... $1,5^6$

$0,1^8$ ......... $0,1^4$

$(\frac{1}{2})^6$ ......... $(\frac{1}{2})^{10}$

$(-\frac{1}{3})^5$ ......... $(-\frac{1}{3})^7$

Решение.

Решение 2.

а)

$2^9 \dots 2^{14}$
Основание степени $2$ больше $1$. Для степеней с основанием больше $1$ верно, что чем больше показатель степени, тем больше значение степени. Поскольку $9 < 14$, то $2^9 < 2^{14}$.
Ответ: $2^9 < 2^{14}$

$-3^5 \dots -3^6$
Сравниваются числа $-(3^5)$ и $-(3^6)$. Сначала сравним положительные числа $3^5$ и $3^6$. Так как основание $3 > 1$ и показатель $5 < 6$, то $3^5 < 3^6$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-(3^5) > -(3^6)$.
Ответ: $-3^5 > -3^6$

$(-7)^{10} \dots (-7)^8$
При возведении отрицательного числа в четную степень (10 и 8) результат будет положительным. Сравнение сводится к $7^{10}$ и $7^8$. Так как основание $7 > 1$ и показатель $10 > 8$, то $7^{10} > 7^8$.
Ответ: $(-7)^{10} > (-7)^8$

$(-5)^5 \dots (-5)^3$
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (5 и 3) результат будет отрицательным. Сравнение сводится к $-5^5$ и $-5^3$. Сначала сравним их модули (абсолютные величины): $5^5$ и $5^3$. Так как основание $5 > 1$ и показатель $5 > 3$, то $5^5 > 5^3$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $-5^5 < -5^3$.
Ответ: $(-5)^5 < (-5)^3$

б)

$1,5^7 \dots 1,5^6$
Основание степени $1,5 > 1$. Чем больше показатель, тем больше значение. Так как $7 > 6$, то $1,5^7 > 1,5^6$.
Ответ: $1,5^7 > 1,5^6$

$0,1^8 \dots 0,1^4$
Основание степени $0,1$ находится в интервале $(0, 1)$. Для таких оснований верно, что чем больше показатель степени, тем меньше значение степени. Так как $8 > 4$, то $0,1^8 < 0,1^4$.
Ответ: $0,1^8 < 0,1^4$

$(\frac{1}{2})^6 \dots (\frac{1}{2})^{10}$
Основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Чем больше показатель, тем меньше значение. Так как $6 < 10$, то $(\frac{1}{2})^6 > (\frac{1}{2})^{10}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^6 > (\frac{1}{2})^{10}$

$(-\frac{1}{3})^5 \dots (-\frac{1}{3})^7$
Оба числа отрицательны, так как возводятся в нечетную степень (5 и 7). Сравним их модули: $|(-\frac{1}{3})^5| = (\frac{1}{3})^5$ и $|(-\frac{1}{3})^7| = (\frac{1}{3})^7$. Основание $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, и показатель $5 < 7$, поэтому $(\frac{1}{3})^5 > (\frac{1}{3})^7$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{3})^7$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{3})^7$