Номер 20, страница 10 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

1. Дроби и проценты - номер 20, страница 10.

Условие.

20. Пусть $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$. Значения каких выражений положительны, каких отрицательны?

$ab$ 0

$ab^2$ 0

$a^2b$ 0

$(-a)(-b)$ 0

$-(ab)^2$ 0

$a - b$ 0

$b - a$ 0

$-(a - b)$ 0

$-(a + b)$ 0

$-a + b$ 0

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем заданные условия: $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

Из этих условий следует:

• $a$ — положительное число.
• $b$ — отрицательное число.
• $|a| < |b|$ означает, что модуль (абсолютное значение) числа $a$ меньше модуля числа $b$. Поскольку $a > 0$, то $|a| = a$. Поскольку $b < 0$, то $|b| = -b$. Таким образом, условие можно переписать как $a < -b$. Это значит, что отрицательное число $b$ находится "дальше" от нуля на числовой оси, чем положительное число $a$.

Определим знак каждого выражения:

ab

Произведение положительного числа ($a > 0$) и отрицательного числа ($b < 0$) всегда является отрицательным.

Ответ: отрицательное.

ab²

Число $a$ положительно ($a > 0$). Выражение $b^2$ является квадратом ненулевого числа, поэтому оно всегда положительно ($b^2 > 0$). Произведение двух положительных чисел ($a$ и $b^2$) положительно.

Ответ: положительное.

a²b

Выражение $a^2$ является квадратом ненулевого числа и поэтому положительно ($a^2 > 0$). Число $b$ отрицательно ($b < 0$). Произведение положительного числа ($a^2$) и отрицательного числа ($b$) отрицательно.

Ответ: отрицательное.

(-a)(-b)

Данное выражение можно упростить, раскрыв скобки: $(-a)(-b) = ab$. Так как $a$ положительно, а $b$ отрицательно, их произведение $ab$ отрицательно. Также можно рассуждать иначе: так как $a > 0$, то $-a < 0$ (отрицательное). Так как $b < 0$, то $-b > 0$ (положительное). Произведение отрицательного числа ($-a$) и положительного ($-b$) является отрицательным.

Ответ: отрицательное.

-(ab)²

Произведение $ab$ отрицательно. Квадрат любого ненулевого числа, в данном случае $(ab)^2$, всегда положителен. Знак минус перед скобкой делает все выражение отрицательным.

Ответ: отрицательное.

a - b

Вычитание отрицательного числа $b$ из положительного числа $a$ эквивалентно сложению двух положительных чисел: $a - b = a + (-b)$. Поскольку $b < 0$, то $-b > 0$. Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) всегда положительна.

Ответ: положительное.

b - a

Вычитание положительного числа $a$ из отрицательного числа $b$ можно представить как сумму двух отрицательных чисел: $b + (-a)$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.

Ответ: отрицательное.

-(a - b)

Как мы уже определили в пункте $a - b$, выражение в скобках положительно. Знак минус перед скобкой делает все выражение отрицательным.

Ответ: отрицательное.

-(a + b)

Для определения знака суммы $a + b$ используем условие $|a| < |b|$. Это означает, что отрицательное число $b$ имеет большую абсолютную величину, чем положительное число $a$. Следовательно, их сумма $a + b$ будет отрицательной. Выражение $-(a + b)$ является противоположным отрицательному числу, а значит, оно положительно.

Ответ: положительное.

-a + b

Это выражение можно представить как сумму $b + (-a)$. Так как $a > 0$, то $-a < 0$. По условию $b$ также отрицательно. Сумма двух отрицательных чисел ($b$ и $-a$) всегда отрицательна.

Ответ: отрицательное.

---

Таким образом, итоговое распределение выражений по знаку:

Положительные значения: $ab^2$, $a-b$, $-(a+b)$.

Отрицательные значения: $ab$, $a^2b$, $(-a)(-b)$, $-(ab)^2$, $b-a$, $-(a-b)$, $-a+b$.