Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

18. Сравните, не вычисляя.

a) $2^9$ ......... $2^{14}$

$-3^5$ ......... $-3^6$

$(-7)^{10}$ ......... $(-7)^8$

$(-5)^5$ ......... $(-5)^3$

б) $1,5^7$ ......... $1,5^6$

$0,1^8$ ......... $0,1^4$

$(\frac{1}{2})^6$ ......... $(\frac{1}{2})^{10}$

$(-\frac{1}{3})^5$ ......... $(-\frac{1}{3})^7$

$2^9 \dots 2^{14}$
Основание степени $2$ больше $1$. Для степеней с основанием больше $1$ верно, что чем больше показатель степени, тем больше значение степени. Поскольку $9 < 14$, то $2^9 < 2^{14}$.
Ответ: $2^9 < 2^{14}$

$-3^5 \dots -3^6$
Сравниваются числа $-(3^5)$ и $-(3^6)$. Сначала сравним положительные числа $3^5$ и $3^6$. Так как основание $3 > 1$ и показатель $5 < 6$, то $3^5 < 3^6$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-(3^5) > -(3^6)$.
Ответ: $-3^5 > -3^6$

$(-7)^{10} \dots (-7)^8$
При возведении отрицательного числа в четную степень (10 и 8) результат будет положительным. Сравнение сводится к $7^{10}$ и $7^8$. Так как основание $7 > 1$ и показатель $10 > 8$, то $7^{10} > 7^8$.
Ответ: $(-7)^{10} > (-7)^8$

$(-5)^5 \dots (-5)^3$
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (5 и 3) результат будет отрицательным. Сравнение сводится к $-5^5$ и $-5^3$. Сначала сравним их модули (абсолютные величины): $5^5$ и $5^3$. Так как основание $5 > 1$ и показатель $5 > 3$, то $5^5 > 5^3$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $-5^5 < -5^3$.
Ответ: $(-5)^5 < (-5)^3$

$1,5^7 \dots 1,5^6$
Основание степени $1,5 > 1$. Чем больше показатель, тем больше значение. Так как $7 > 6$, то $1,5^7 > 1,5^6$.
Ответ: $1,5^7 > 1,5^6$

$0,1^8 \dots 0,1^4$
Основание степени $0,1$ находится в интервале $(0, 1)$. Для таких оснований верно, что чем больше показатель степени, тем меньше значение степени. Так как $8 > 4$, то $0,1^8 < 0,1^4$.
Ответ: $0,1^8 < 0,1^4$

$(\frac{1}{2})^6 \dots (\frac{1}{2})^{10}$
Основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Чем больше показатель, тем меньше значение. Так как $6 < 10$, то $(\frac{1}{2})^6 > (\frac{1}{2})^{10}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^6 > (\frac{1}{2})^{10}$

$(-\frac{1}{3})^5 \dots (-\frac{1}{3})^7$
Оба числа отрицательны, так как возводятся в нечетную степень (5 и 7). Сравним их модули: $|(-\frac{1}{3})^5| = (\frac{1}{3})^5$ и $|(-\frac{1}{3})^7| = (\frac{1}{3})^7$. Основание $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, и показатель $5 < 7$, поэтому $(\frac{1}{3})^5 > (\frac{1}{3})^7$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{3})^7$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{3})^7$

19. Заполните таблицу.

a) c -3 -2 -1 0 1 2 3

$2c + 3$

$2(c + 3)$

$2c^2 - 3$

$2(c^2 - 3)$

б) x -2 -1 0 1 2

$1 - x^3$

$(1 - x)^3$

$x^3 - 1$

$(x - 1)^3$

a)

Для заполнения таблицы необходимо последовательно подставлять значения переменной $c$ из верхней строки в выражения из первого столбца и вычислять результаты.

Вычисления для строки $2c + 3$:
При $c = -3$: $2 \cdot (-3) + 3 = -6 + 3 = -3$.
При $c = -2$: $2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$.
При $c = -1$: $2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.
При $c = 0$: $2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.
При $c = 1$: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
При $c = 2$: $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
При $c = 3$: $2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$.

Вычисления для строки $2(c + 3)$:
При $c = -3$: $2(-3 + 3) = 2 \cdot 0 = 0$.
При $c = -2$: $2(-2 + 3) = 2 \cdot 1 = 2$.
При $c = -1$: $2(-1 + 3) = 2 \cdot 2 = 4$.
При $c = 0$: $2(0 + 3) = 2 \cdot 3 = 6$.
При $c = 1$: $2(1 + 3) = 2 \cdot 4 = 8$.
При $c = 2$: $2(2 + 3) = 2 \cdot 5 = 10$.
При $c = 3$: $2(3 + 3) = 2 \cdot 6 = 12$.

Вычисления для строки $2c^2 - 3$:
При $c = -3$: $2(-3)^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$.
При $c = -2$: $2(-2)^2 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.
При $c = -1$: $2(-1)^2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.
При $c = 0$: $2 \cdot 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3$.
При $c = 1$: $2 \cdot 1^2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.
При $c = 2$: $2 \cdot 2^2 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.
При $c = 3$: $2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$.

Вычисления для строки $2(c^2 - 3)$:
При $c = -3$: $2((-3)^2 - 3) = 2(9 - 3) = 2 \cdot 6 = 12$.
При $c = -2$: $2((-2)^2 - 3) = 2(4 - 3) = 2 \cdot 1 = 2$.
При $c = -1$: $2((-1)^2 - 3) = 2(1 - 3) = 2 \cdot (-2) = -4$.
При $c = 0$: $2(0^2 - 3) = 2(0 - 3) = 2 \cdot (-3) = -6$.
При $c = 1$: $2(1^2 - 3) = 2(1 - 3) = 2 \cdot (-2) = -4$.
При $c = 2$: $2(2^2 - 3) = 2(4 - 3) = 2 \cdot 1 = 2$.
При $c = 3$: $2(3^2 - 3) = 2(9 - 3) = 2 \cdot 6 = 12$.

Ответ:

б)

Аналогично заполним вторую таблицу, подставляя значения переменной $x$ в соответствующие выражения.

Вычисления для строки $1 - x^3$:
При $x = -2$: $1 - (-2)^3 = 1 - (-8) = 1 + 8 = 9$.
При $x = -1$: $1 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
При $x = 0$: $1 - 0^3 = 1 - 0 = 1$.
При $x = 1$: $1 - 1^3 = 1 - 1 = 0$.
При $x = 2$: $1 - 2^3 = 1 - 8 = -7$.

Вычисления для строки $(1 - x)^3$:
При $x = -2$: $(1 - (-2))^3 = (1 + 2)^3 = 3^3 = 27$.
При $x = -1$: $(1 - (-1))^3 = (1 + 1)^3 = 2^3 = 8$.
При $x = 0$: $(1 - 0)^3 = 1^3 = 1$.
При $x = 1$: $(1 - 1)^3 = 0^3 = 0$.
При $x = 2$: $(1 - 2)^3 = (-1)^3 = -1$.

Вычисления для строки $x^3 - 1$:
При $x = -2$: $(-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$.
При $x = -1$: $(-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$.
При $x = 0$: $0^3 - 1 = 0 - 1 = -1$.
При $x = 1$: $1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$.
При $x = 2$: $2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Вычисления для строки $(x - 1)^3$:
При $x = -2$: $(-2 - 1)^3 = (-3)^3 = -27$.
При $x = -1$: $(-1 - 1)^3 = (-2)^3 = -8$.
При $x = 0$: $(0 - 1)^3 = (-1)^3 = -1$.
При $x = 1$: $(1 - 1)^3 = 0^3 = 0$.
При $x = 2$: $(2 - 1)^3 = 1^3 = 1$.

Ответ: