Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3) Как выполнять действия сложения, вычитания и деления с обыкновенными дробями?

Сложение обыкновенных дробей

Чтобы сложить две или более обыкновенные дроби, их необходимо привести к общему знаменателю, после чего сложить числители, а знаменатель оставить без изменений.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если знаменатели дробей равны, то для их сложения достаточно сложить их числители, а знаменатель записать тот же. В общем виде правило выглядит так:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Пример: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}$

2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Если знаменатели дробей различны, следует выполнить следующие шаги:

а) Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это число станет общим знаменателем.

б) Для каждой дроби определить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби.

в) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

г) Сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из пункта 1.

Пример: Сложить дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{4}$.

а) НОК знаменателей 6 и 4 равно 12. Общий знаменатель — 12.

б) Дополнительный множитель для $\frac{1}{6}$ равен $12 \div 6 = 2$. Для $\frac{3}{4}$ он равен $12 \div 4 = 3$.

в) Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$ и $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.

г) Выполняем сложение: $\frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12}$.

Если в результате получилась неправильная дробь, из нее можно выделить целую часть. Если дробь сократима, ее следует сократить.

Ответ: Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, а знаменатель оставляют прежним.

Вычитание обыкновенных дробей

Вычитание дробей выполняется по аналогии со сложением: дроби приводятся к общему знаменателю, после чего выполняется вычитание числителей.

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Пример: $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (результат сокращен).

2. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Алгоритм полностью совпадает с приведением дробей к общему знаменателю при сложении.

Пример: Вычесть из дроби $\frac{5}{6}$ дробь $\frac{1}{4}$.

а) Общий знаменатель (НОК) для 6 и 4 равен 12.

б) Дополнительные множители: для $\frac{5}{6}$ это 2, для $\frac{1}{4}$ это 3.

в) Приводим дроби к знаменателю 12: $\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ и $\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.

г) Выполняем вычитание: $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10-3}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: Для вычитания одной дроби из другой их приводят к общему знаменателю, затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют прежним.

Деление обыкновенных дробей

Правило деления дробей гласит: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби).

Дробь, обратная дроби $\frac{c}{d}$, — это дробь $\frac{d}{c}$.

Формула деления:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример: Разделить $\frac{3}{5}$ на $\frac{2}{7}$.

а) Находим дробь, обратную делителю $\frac{2}{7}$, это $\frac{7}{2}$.

б) Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2}$.

в) Перемножаем числители и знаменатели: $\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10}$.

г) Так как $\frac{21}{10}$ — неправильная дробь, выделяем целую часть: $2\frac{1}{10}$.

Частные случаи:

- Деление дроби на целое число: $n = \frac{n}{1}$.

$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$

Пример: $\frac{4}{9} \div 2 = \frac{4}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.

- Деление целого числа на дробь:

$n \div \frac{a}{b} = \frac{n}{1} \div \frac{a}{b} = \frac{n}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{n \cdot b}{a}$

Пример: $5 \div \frac{2}{3} = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.

Ответ: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.