Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7) Как перевести обыкновенную дробь в десятичную и, наоборот, десятичную - в обыкновенную?

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, существует два основных способа. Выбор способа зависит от самой дроби и удобства вычислений.

Способ 1: Деление числителя на знаменатель

Это универсальный метод, который подходит для любой обыкновенной дроби. Необходимо просто разделить числитель дроби на ее знаменатель, например, "в столбик". В результате может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Пример 1 (конечная дробь): Переведем дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную.

Делим числитель 3 на знаменатель 4:

$3 \div 4 = 0.75$

Следовательно, $\frac{3}{4} = 0.75$.

Пример 2 (периодическая дробь): Переведем дробь $\frac{5}{6}$ в десятичную.

Делим 5 на 6:

$5 \div 6 = 0.8333...$

Это бесконечная дробь, где цифра 3 повторяется. Такие дроби записывают с использованием скобок, в которые заключается повторяющаяся часть (период): $0.8(3)$.

Следовательно, $\frac{5}{6} = 0.8(3)$.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10

Этот способ удобен, если знаменатель дроби легко приводится к числу 10, 100, 1000 и т.д. Это возможно только в том случае, если разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители содержит только числа 2 и 5. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на один и тот же дополнительный множитель.

Пример: Переведем дробь $\frac{7}{20}$ в десятичную.

Знаменатель равен $20$. Чтобы получить в знаменателе 100, нужно умножить 20 на 5.

Умножаем числитель и знаменатель на 5:

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

Ответ: Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель. Если знаменатель дроби (в несокращенном виде) можно привести к 10, 100, 1000 и т.д., можно домножить числитель и знаменатель на соответствующий множитель и затем записать в виде десятичной дроби.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Способ перевода зависит от вида десятичной дроби: конечная она или бесконечная периодическая.

1. Перевод конечной десятичной дроби

Алгоритм перевода следующий:

1. В числитель будущей дроби записываем исходное десятичное число, но без запятой.

2. В знаменатель ставим единицу и столько нулей, сколько было цифр после запятой в исходной дроби.

3. Если у исходного числа была целая часть, она сохранится и у обыкновенной дроби.

4. Полученную дробь сокращаем, если это возможно.

Пример 1: Переведем $0.56$ в обыкновенную дробь.

В числитель пишем 56. После запятой 2 цифры, значит в знаменателе будет $100$.

$0.56 = \frac{56}{100}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{56 \div 4}{100 \div 4} = \frac{14}{25}$

Пример 2: Переведем $4.75$ в обыкновенную дробь.

$4.75 = \frac{475}{100} = 4\frac{75}{100}$

Сокращаем дробную часть $\frac{75}{100}$ на 25:

$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$

Итоговый результат: $4\frac{3}{4}$. В виде неправильной дроби: $\frac{19}{4}$.

2. Перевод бесконечной периодической дроби

а) Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой)

В числитель записываем период, а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде.

Пример: $0.(42) = 0.4242...$

Период — 42 (две цифры). Значит, в числителе 42, в знаменателе 99.

$0.(42) = \frac{42}{99} = \frac{14}{33}$

б) Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры)

Для преобразования используется следующее правило:

Числитель равен разности между числом, составленным из всех цифр после запятой (включая один период), и числом, составленным из цифр до периода.

Знаменатель состоит из такого количества девяток, сколько цифр в периоде, и такого количества нулей, сколько цифр после запятой до периода.

Пример: $0.12(8) = 0.12888...$

Числитель: $128 - 12 = 116$.

Знаменатель: в периоде (8) одна цифра — одна 9; до периода (12) две цифры — два 0. Итого 900.

Получаем дробь: $\frac{116}{900}$.

Сокращаем на 4: $\frac{116 \div 4}{900 \div 4} = \frac{29}{225}$.

Ответ: Для перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную ее представляют в виде дроби со знаменателем 10, 100 и т.д. и затем сокращают. Для перевода бесконечной периодической дроби применяют специальные правила, основанные на алгебраических преобразованиях, которые зависят от того, является ли дробь чистой или смешанной периодической.