Номер 10, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10) Какие числа называются рациональными?

10) Рациональными числами называются числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $).

В этой дроби $ m $ является числителем, а $ n $ — знаменателем. Условие, что знаменатель является натуральным числом ($ n \in \{1, 2, 3, ...\} $), гарантирует, что он не равен нулю. Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $ \mathbb{Q} $ (от лат. quotient, частное).

Рациональными являются следующие виды чисел:

1. Все целые числа (положительные, отрицательные и ноль). Любое целое число $ z $ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $ z = \frac{z}{1} $. Например: $ 7 = \frac{7}{1} $, $ -3 = \frac{-3}{1} $, $ 0 = \frac{0}{1} $. Таким образом, множество целых чисел $ \mathbb{Z} $ является подмножеством множества рациональных чисел $ \mathbb{Q} $.

2. Все конечные десятичные дроби. Любую такую дробь можно записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. Например: $ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $; $ 2,45 = \frac{245}{100} = \frac{49}{20} $.

3. Все бесконечные периодические десятичные дроби. Такие дроби всегда можно преобразовать в обыкновенную дробь. Например: $ 0,333... = 0,(3) = \frac{1}{3} $; $ 0,1666... = 0,1(6) = \frac{1}{6} $; $ 1,2727... = 1,(27) = \frac{126}{99} = \frac{14}{11} $.

Таким образом, ключевым свойством рационального числа является то, что его десятичное представление либо конечно, либо является бесконечной периодической дробью. Числа, которые нельзя представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, называются иррациональными (например, $ \pi \approx 3,14159... $, $ \sqrt{2} \approx 1,41421... $).

Ответ: Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное число.