Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5) Как выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления со смешанными числами?

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной части, например $5 \frac{2}{3}$. Для выполнения большинства арифметических действий со смешанными числами, особенно умножения и деления, их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель. Результат будет новым числителем, а знаменатель останется прежним: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

Сложение

Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить отдельно их целые и дробные части. Если сумма дробных частей окажется неправильной дробью, из нее нужно выделить целую часть и добавить к сумме целых частей.

1. Складываем целые части: $2 + 4 = 6$.

2. Складываем дробные части: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$. Приводим к общему знаменателю 6: $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.

3. Дробь $\frac{7}{6}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$.

4. Прибавим полученный результат к сумме целых частей: $6 + 1 \frac{1}{6} = 7 \frac{1}{6}$.

Другой способ — это преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби, сложить их, а затем, если нужно, преобразовать результат обратно в смешанное число.

Пример: $2 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{16}{6} + \frac{27}{6} = \frac{43}{6} = 7 \frac{1}{6}$.

Ответ: $7 \frac{1}{6}$

Вычитание

При вычитании можно так же действовать с целыми и дробными частями отдельно. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

Пример: $5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4}$

1. Дробная часть $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$. Поэтому "займем" единицу у целой части 5.

2. $5 \frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4 \frac{5}{4}$.

3. Теперь вычитаем: $4 \frac{5}{4} - 2 \frac{3}{4}$.

4. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.

5. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

6. Соединяем результат: $2 \frac{1}{2}$.

Также можно всегда преобразовывать числа в неправильные дроби: $5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4} = \frac{21}{4} - \frac{11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$.

Ответ: $2 \frac{1}{2}$

Умножение

Для умножения смешанных чисел их всегда необходимо преобразовывать в неправильные дроби.

1. Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь.

2. Перемножьте числители, а затем знаменатели полученных дробей.

3. Если результат — неправильная дробь, преобразуйте ее обратно в смешанное число.

Пример: $3 \frac{1}{2} \times 1 \frac{2}{5}$

1. Преобразуем в неправильные дроби: $3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$; $1 \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.

2. Умножаем дроби: $\frac{7}{2} \times \frac{7}{5} = \frac{7 \times 7}{2 \times 5} = \frac{49}{10}$.

3. Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{49}{10} = 4 \frac{9}{10}$.

Ответ: $4 \frac{9}{10}$

Деление

Как и при умножении, для деления смешанных чисел их следует преобразовать в неправильные дроби.

1. Преобразуйте делимое и делитель в неправильные дроби.

2. Замените деление на умножение, "перевернув" вторую дробь (делитель).

3. Умножьте полученные дроби.

4. При необходимости преобразуйте результат в смешанное число.

Пример: $4 \frac{1}{5} \div 2 \frac{1}{10}$

1. Преобразуем в неправильные дроби: $4 \frac{1}{5} = \frac{21}{5}$; $2 \frac{1}{10} = \frac{21}{10}$.

2. Деление заменяем на умножение на обратную дробь: $\frac{21}{5} \div \frac{21}{10} = \frac{21}{5} \times \frac{10}{21}$.

3. Умножаем, предварительно сократив: $\frac{21}{5} \times \frac{10}{21} = \frac{\cancel{21} \times 10}{5 \times \cancel{21}} = \frac{10}{5}$.

4. Вычисляем результат: $\frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $2$