Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6) Какие дроби называются десятичными? Какая дробь называется бесконечной периодической десятичной дробью?

Какие дроби называются десятичными?

Десятичной дробью называют способ представления обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10 (т.е. $10, 100, 1000$ и так далее). Основное удобство десятичных дробей в том, что они записываются без знаменателя, а целая и дробная части разделяются запятой (в русскоязычной традиции) или точкой.

Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками, и их количество указывает на знаменатель исходной обыкновенной дроби:

• Один знак после запятой означает знаменатель 10. Например, $0,7 = \frac{7}{10}$.
• Два знака после запятой означают знаменатель 100. Например, $0,23 = \frac{23}{100}$.
• Три знака после запятой означают знаменатель 1000. Например, $5,125 = 5\frac{125}{1000} = \frac{5125}{1000}$.

Любую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$, знаменатель $q$ которой (в несократимом виде) не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: Десятичными дробями называют дроби, знаменатель которых равен степени числа 10 ($10^1, 10^2, 10^3$ и т.д.), записанные в позиционной системе счисления с помощью десятичного разделителя (запятой).

Какая дробь называется бесконечной периодической десятичной дробью?

Бесконечной периодической десятичной дробью (или просто периодической дробью) называется бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, одна цифра или группа цифр начинает бесконечно повторяться. Эта повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби.

При записи таких дробей период принято заключать в круглые скобки. Например:

• Дробь $\frac{1}{3}$ при делении числителя на знаменатель дает $0,3333...$. Это записывается как $0,(3)$. Здесь период — это цифра 3.
• Дробь $\frac{5}{11}$ дает $0,454545...$. Это записывается как $0,(45)$. Здесь период — это группа цифр 45.

Периодические дроби бывают двух видов:

1. Чистые периодические дроби — у которых период начинается сразу после запятой. Например, $0,(142857)$.
2. Смешанные периодические дроби — у которых между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, не входящих в период. Например, в дроби $0,58(3)$ ($0,58333...$) цифры "58" не входят в период, а "3" — это период.

Важно отметить, что любую обыкновенную дробь можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Это означает, что все рациональные числа имеют такое представление.

Ответ: Бесконечной периодической десятичной дробью называется бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр, называемых периодом, бесконечно повторяются в одной и той же последовательности.