Номер 14, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14) Что такое пропорция? Какие свойства она имеет?

Что такое пропорция?

Пропорция — это равенство двух отношений. Её можно записать в виде $a : b = c : d$ или, что то же самое, в виде равенства дробей: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Читается такая запись как: «a относится к b так же, как c относится к d».

Числа $a, b, c, d$ называются членами пропорции. В записи $a : b = c : d$ члены $a$ и $d$ находятся по краям, поэтому их называют крайними членами. Члены $b$ и $c$ находятся в середине, и их называют средними членами. Важно, что члены $b$ и $d$, на которые производится деление, не должны быть равны нулю.

Например, в пропорции $2 : 4 = 5 : 10$ числа 2 и 10 являются крайними членами, а 4 и 5 — средними.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений, которое записывается как $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Числа $a$ и $d$ называются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними.

Какие свойства она имеет?

Пропорция обладает несколькими важными свойствами, которые можно разделить на основное свойство и производные свойства.

1. Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается в виде равенства: $a \cdot d = b \cdot c$.

Это свойство является главным инструментом для решения задач с пропорциями. Оно позволяет проверить, верна ли пропорция, а также находить ее неизвестный член.

Пример: Чтобы найти неизвестный член $x$ в пропорции $\frac{x}{6} = \frac{2}{3}$, нужно, используя основное свойство, составить уравнение: $x \cdot 3 = 6 \cdot 2$. Решая его, получаем $3x = 12$, откуда $x = 4$.

2. Производные свойства пропорции

Из верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить другие верные пропорции, которые также могут быть полезны при решении задач.

- Перестановка членов:

• Можно поменять местами средние члены: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

• Можно поменять местами крайние члены: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.

• Можно "обратить" пропорцию, поменяв местами и числители, и знаменатели в обоих отношениях: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

- Сложение и вычитание членов:

• $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

• $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

• $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$

• Свойство ряда равных отношений: $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ответ: Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних ($a \cdot d = b \cdot c$). Также существуют производные свойства, позволяющие менять члены пропорции местами (например, $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$) или образовывать новые пропорции путем сложения и вычитания ее членов (например, $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$).