Номер 19, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19) Что такое линейное уравнение? Как его решают?

Что такое линейное уравнение?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно представить в виде $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (коэффициенты). Название «линейное» связано с тем, что переменная $x$ находится в первой степени.

Многие уравнения, которые на первый взгляд не выглядят как $ax=b$, также являются линейными, поскольку их можно свести к этому виду с помощью алгебраических преобразований. Например, уравнение $7x - 10 = 3x + 6$ является линейным. Если перенести слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую, получим:

$7x - 3x = 6 + 10$

$4x = 16$

Это уравнение имеет стандартный вид $ax=b$, где $a=4$, $b=16$.

Ответ: Линейное уравнение — это уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа.

Как его решают?

Решение линейного уравнения — это нахождение такого значения переменной $x$, которое обращает уравнение в верное числовое равенство. Процесс решения состоит из двух основных шагов:

1. Упрощение и приведение к стандартному виду. Цель этого шага — получить уравнение вида $ax = b$.
   • Сначала раскрывают все скобки, если они есть.
   • Затем все слагаемые, содержащие переменную $x$, переносят в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые (константы) — в правую. Важно помнить, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
   • После этого приводят подобные слагаемые в левой и правой частях. В результате получается уравнение стандартного вида $ax = b$.
2. Анализ коэффициентов и нахождение корня. После приведения уравнения к виду $ax = b$ рассматривают три возможных случая:
   • Случай 1: $a \neq 0$. Уравнение имеет единственный корень. Для его нахождения нужно разделить обе части уравнения на $a$: $x = \frac{b}{a}$.

     Пример: $4x = 16 \implies x = \frac{16}{4} \implies x = 4$.

   • Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Такое равенство невозможно, так как произведение нуля на любое число равно нулю, а $b$ по условию не равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

     Пример: $2x + 5 = 2x + 7 \implies 2x - 2x = 7 - 5 \implies 0x = 2$. Корней нет.

   • Случай 3: $a = 0$ и $b = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для абсолютно любого значения $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

     Пример: $3(x - 1) = 3x - 3 \implies 3x - 3 = 3x - 3 \implies 3x - 3x = -3 + 3 \implies 0x = 0$. Корень — любое число.

Ответ: Для решения линейного уравнения его приводят к виду $ax = b$. Далее, если $a \neq 0$, то корень $x = \frac{b}{a}$; если $a = 0$ и $b \neq 0$, то корней нет; если $a = 0$ и $b = 0$, то корень — любое число.