Номер 21, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21) Как решать линейные неравенства с одной переменной?

Решение линейного неравенства с одной переменной — это нахождение всех значений переменной, при которых данное неравенство является верным. Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида $ax+b>0$, $ax+b<0$, $ax+b\ge0$ или $ax+b\le0$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, а $x$ — переменная. Процесс решения очень похож на решение линейных уравнений, но имеет одно важное отличие.

Алгоритм решения

Чтобы решить линейное неравенство с одной переменной, нужно:

1. Раскрыть все скобки (если они есть), используя распределительный закон умножения.

2. Сгруппировать слагаемые: перенести все члены, содержащие переменную, в одну часть неравенства (обычно в левую), а все постоянные члены (числа) — в другую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

3. Привести подобные слагаемые в каждой части неравенства. В результате получится неравенство простого вида, например $ax > b$.

4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной $a$. Это самый важный шаг, где действуют особые правила:

• Если коэффициент $a$ положительный ($a > 0$), то знак неравенства сохраняется.

• Если коэффициент $a$ отрицательный ($a < 0$), то знак неравенства меняется на противоположный (например, знак $>$ меняется на $<$, а знак $\le$ на $\ge$).

5. Записать множество решений неравенства в виде промежутка и, если требуется, изобразить его на числовой оси.

Ответ: Выше представлен пошаговый алгоритм для решения линейных неравенств с одной переменной.

Примеры

Пример 1: Деление на положительный коэффициент

Решить неравенство $4x - 9 > 11$.

Следуя алгоритму, перенесем $-9$ в правую часть с противоположным знаком:

$4x > 11 + 9$

$4x > 20$

Теперь разделим обе части на коэффициент $4$. Так как $4$ — положительное число, знак неравенства $>$ сохраняется:

$x > \frac{20}{4}$

$x > 5$

Решение в виде промежутка: $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

Пример 2: Деление на отрицательный коэффициент

Решить неравенство $7 - 3x \ge 19$.

Перенесем $7$ в правую часть:

$-3x \ge 19 - 7$

$-3x \ge 12$

Разделим обе части на коэффициент $-3$. Так как $-3$ — отрицательное число, меняем знак неравенства $\ge$ на $\le$:

$x \le \frac{12}{-3}$

$x \le -4$

Решение в виде промежутка: $(-\infty; -4]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

Пример 3: Неравенство со скобками

Решить неравенство $3(x - 2) < 5x + 2$.

1. Раскроем скобки: $3x - 6 < 5x + 2$.

2. Сгруппируем переменные слева, числа справа:

$3x - 5x < 2 + 6$

3. Приведем подобные слагаемые:

$-2x < 8$

4. Разделим на $-2$ и поменяем знак неравенства с $<$ на $>$:

$x > \frac{8}{-2}$

$x > -4$

Решение в виде промежутка: $(-4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

Особые случаи

Иногда в процессе решения переменная $x$ сокращается. В этом случае нужно проанализировать получившееся числовое неравенство.

1. Нет решений

Рассмотрим неравенство $2(x+1) > 2x + 3$.

Раскрыв скобки, получаем: $2x + 2 > 2x + 3$.

Перенеся слагаемые, приходим к: $2x - 2x > 3 - 2$, что дает $0 > 1$.

Это неравенство является ложным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

2. Решением является любое число

Рассмотрим неравенство $5x - 7 < 5(x+1)$.

Раскрыв скобки, получаем: $5x - 7 < 5x + 5$.

Перенеся слагаемые, приходим к: $5x - 5x < 5 + 7$, что дает $0 < 12$.

Это неравенство является истинным. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое число).