Номер 18, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18) Как упрощать алгебраические выражения: раскрытие скобок; вынесение множителя за скобки; приведение подобных слагаемых?

Упрощение алгебраических выражений — это процесс их преобразования к более простому и короткому виду. Основные методы включают раскрытие скобок, вынесение общего множителя и приведение подобных слагаемых.

раскрытие скобок;

Раскрытие скобок основано на распределительном законе умножения: $a(b + c) = ab + ac$. Чтобы раскрыть скобки, нужно множитель, стоящий перед скобками, умножить на каждый член внутри скобок, сохраняя их знаки.

1. Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки можно просто убрать, сохранив знаки всех слагаемых: $a + (b - c) = a + b - c$.

2. Если перед скобкой стоит знак «−», то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $a - (b - c) = a - b + c$.

3. При умножении скобки на скобку каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Пример: Упростить выражение $5(x + 2y) - (3x - y)$.

1. Раскрываем первую скобку, умножая 5 на $x$ и на $2y$: $5 \cdot x + 5 \cdot 2y = 5x + 10y$.

2. Раскрываем вторую скобку. Перед ней стоит знак «−», поэтому знаки внутри меняются: $-(3x - y) = -3x + y$.

3. Получаем выражение: $5x + 10y - 3x + y$.

4. Приводим подобные слагаемые (см. ниже): $(5x - 3x) + (10y + y) = 2x + 11y$.

Ответ: $2x + 11y$.

вынесение множителя за скобки;

Это операция, обратная раскрытию скобок. Она заключается в нахождении общего для всех членов выражения множителя и "вынесении" его за скобки.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для всех числовых коэффициентов.

2. Находим общие переменные, входящие в каждый член выражения, и выбираем для каждой из них наименьшую степень.

3. Произведение НОД и общих переменных в наименьших степенях будет общим множителем.

4. Делим каждый член исходного выражения на этот общий множитель и записываем результат в скобках.

Пример: Упростить выражение $12x^2y - 18xy^3$.

1. НОД для коэффициентов 12 и 18 равен 6.

2. Общие переменные — $x$ (наименьшая степень 1) и $y$ (наименьшая степень 1).

3. Общий множитель равен $6xy$.

4. Выносим его за скобки. Для этого делим каждый член на $6xy$:

$12x^2y \div (6xy) = 2x$

$-18xy^3 \div (6xy) = -3y^2$

5. Записываем результат: $6xy(2x - 3y^2)$.

Ответ: $6xy(2x - 3y^2)$.

приведение подобных слагаемых?

Подобные слагаемые (или члены) — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (одни и те же переменные в одних и тех же степенях). Они могут отличаться только числовыми коэффициентами.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Это следует из распределительного закона: $ax + bx = (a+b)x$.

Пример: Упростить выражение $7a - 2b + 3a + 5b - 4$.

1. Группируем подобные слагаемые: с переменной $a$, с переменной $b$ и числовые константы.

$(7a + 3a) + (-2b + 5b) - 4$.

2. Складываем коэффициенты в каждой группе:

Для $a$: $7 + 3 = 10$. Получаем $10a$.

Для $b$: $-2 + 5 = 3$. Получаем $3b$.

Константа остается без изменений: $-4$.

3. Записываем итоговое выражение, состоящее из получившихся членов: $10a + 3b - 4$.

Ответ: $10a + 3b - 4$.