Номер 26, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26) Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными вида `$ax + by + c = 0$` (где `a`, `b`, `c` — числа, и хотя бы одно из чисел `a` или `b` не равно нулю) является прямая линия. Согласно аксиоме геометрии, для построения прямой достаточно знать координаты двух её точек. Поэтому алгоритм построения графика сводится к нахождению двух любых пар чисел `$(x, y)$`, которые являются решениями уравнения, и проведению через них прямой.

Алгоритм построения графика:

1. Найти координаты первой точки. Для этого выбирают произвольное, удобное для расчетов значение одной переменной (например, `x`), подставляют его в уравнение и вычисляют соответствующее значение другой переменной (`y`). Зачастую удобно брать `$x = 0$`. Это даст нам первую точку `$(x_1, y_1)$`.
2. Найти координаты второй точки. Для этого выбирают другое произвольное значение для одной из переменных (например, `y` или другое значение `x`) и, аналогично первому шагу, вычисляют соответствующее значение другой переменной. Это даст нам вторую точку `$(x_2, y_2)$`.
3. Построить на координатной плоскости `Oxy` найденные точки `$(x_1, y_1)$` и `$(x_2, y_2)$`.
4. Провести через эти две точки прямую линию с помощью линейки. Эта линия и является графиком данного уравнения.

Пример:

Построим график уравнения `$3x + 2y - 6 = 0$`.

1. Найдем первую точку.

Пусть `$x = 0$`. Подставим это значение в уравнение:

`$3 \cdot 0 + 2y - 6 = 0$`

`$2y - 6 = 0$`

`$2y = 6$`

`$y = 3$`

Получили первую точку с координатами `$(0, 3)`.

2. Найдем вторую точку.

Пусть `$y = 0$`. Подставим это значение в уравнение:

`$3x + 2 \cdot 0 - 6 = 0$`

`$3x - 6 = 0$`

`$3x = 6$`

`$x = 2$`

Получили вторую точку с координатами `$(2, 0)`.

3. Построим график.

Отметим на координатной плоскости точки `$(0, 3)` (на оси `Oy`) и `$(2, 0)` (на оси `Ox`) и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения `$3x + 2y - 6 = 0$`.

Особые случаи:

• Если в уравнении `$b = 0$` (уравнение вида `$ax + c = 0$`), то `$x = -c/a$`. Это вертикальная прямая, параллельная оси `Oy`. Например, график уравнения `$x=4$` — это вертикальная прямая, проходящая через точку `$(4, 0)`.
• Если в уравнении `$a = 0$` (уравнение вида `$by + c = 0$`), то `$y = -c/b$`. Это горизонтальная прямая, параллельная оси `Ox`. Например, график уравнения `$y=-2$` — это горизонтальная прямая, проходящая через точку `$(0, -2)`.
• Если в уравнении `$c = 0$` (уравнение вида `$ax + by = 0$`), то график всегда проходит через начало координат, точку `$(0, 0)`. В этом случае `$(0, 0)` является одной из точек. Для нахождения второй нужно подставить любое другое ненулевое значение `x` или `y`.

Ответ:

Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными, нужно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих этому уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.