Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Решите уравнение:

1) $\frac{3y+9}{5} + \frac{5y-5}{4} = 6 + \frac{3y+1}{2}$;

2) $\frac{3}{4}x + 2x + 5 = 2\frac{3}{4}x + 4,1 + 0,9$;

3) $\frac{7(y-6)}{4} = \frac{5(y+1)}{3} - 3(y+2)$;

4) $4 \cdot |x| - 7 = -2|x| + 5$.

1) $ \frac{3y + 9}{5} + \frac{5y - 5}{4} = 6 + \frac{3y + 1}{2} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 4 и 2. НОК(5, 4, 2) = 20.

$ 20 \cdot \left( \frac{3y + 9}{5} + \frac{5y - 5}{4} \right) = 20 \cdot \left( 6 + \frac{3y + 1}{2} \right) $

$ \frac{20(3y + 9)}{5} + \frac{20(5y - 5)}{4} = 20 \cdot 6 + \frac{20(3y + 1)}{2} $

$ 4(3y + 9) + 5(5y - 5) = 120 + 10(3y + 1) $

Раскроем скобки:

$ 12y + 36 + 25y - 25 = 120 + 30y + 10 $

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$ (12y + 25y) + (36 - 25) = (120 + 10) + 30y $

$ 37y + 11 = 130 + 30y $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$ 37y - 30y = 130 - 11 $

$ 7y = 119 $

Найдем $y$:

$ y = \frac{119}{7} $

$ y = 17 $

Ответ: 17

2) $ \frac{3}{4}x + 2x + 5 = 2 - \frac{3}{4}x + 4,1 + 0,9 $

Сначала упростим правую часть уравнения, сложив числовые слагаемые:

$ 2 + 4,1 + 0,9 = 7 $

Уравнение примет вид:

$ \frac{3}{4}x + 2x + 5 = 7 - \frac{3}{4}x $

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 4:

$ 4 \cdot \left(\frac{3}{4}x + 2x + 5\right) = 4 \cdot \left(7 - \frac{3}{4}x\right) $

$ 4 \cdot \frac{3}{4}x + 4 \cdot 2x + 4 \cdot 5 = 4 \cdot 7 - 4 \cdot \frac{3}{4}x $

$ 3x + 8x + 20 = 28 - 3x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 11x + 20 = 28 - 3x $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$ 11x + 3x = 28 - 20 $

$ 14x = 8 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{8}{14} $

$ x = \frac{4}{7} $

Ответ: $ \frac{4}{7} $

3) $ \frac{7(y - 6)}{4} = \frac{5(y + 1)}{3} - 3(y + 2) $

Раскроем скобки в правой части:

$ \frac{7(y - 6)}{4} = \frac{5(y + 1)}{3} - 3y - 6 $

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12:

$ 12 \cdot \frac{7(y - 6)}{4} = 12 \cdot \left( \frac{5(y + 1)}{3} - 3y - 6 \right) $

$ 3 \cdot 7(y - 6) = 12 \cdot \frac{5(y + 1)}{3} - 12 \cdot 3y - 12 \cdot 6 $

$ 21(y - 6) = 4 \cdot 5(y + 1) - 36y - 72 $

$ 21(y - 6) = 20(y + 1) - 36y - 72 $

Раскроем все скобки:

$ 21y - 126 = 20y + 20 - 36y - 72 $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 21y - 126 = (20y - 36y) + (20 - 72) $

$ 21y - 126 = -16y - 52 $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$ 21y + 16y = 126 - 52 $

$ 37y = 74 $

Найдем $y$:

$ y = \frac{74}{37} $

$ y = 2 $

Ответ: 2

4) $ 4 \cdot |x| - 7 = -2 \cdot |x| + 5 $

Это уравнение с модулем. Для его решения сгруппируем слагаемые, содержащие $|x|$, в одной части, а числовые слагаемые — в другой.

Перенесем $ -2 \cdot |x| $ в левую часть, а -7 в правую, изменив их знаки:

$ 4 \cdot |x| + 2 \cdot |x| = 5 + 7 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 6 \cdot |x| = 12 $

Найдем значение $|x|$:

$ |x| = \frac{12}{6} $

$ |x| = 2 $

Уравнение $|x| = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$.

В нашем случае $a=2$, поэтому получаем два решения:

$ x_1 = 2 $

$ x_2 = -2 $

Ответ: -2; 2