Номер 9, страница 40, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 5. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Параграф 54. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 9, страница 40.

Условие.

9. В сообщающиеся сосуды одинакового сечения налита ртуть. Затем в правую часть сообщающихся сосудов наливают воду высотой столба 18 см, а в левую часть — керосин высотой столба 18 см. Определите разницу в уровнях поверхностей воды и керосина. Плотность воды $1000 \text{ кг/м}^3$, плотность ртути $13\,600 \text{ кг/м}^3$, плотность керосина $800 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Высота столба воды, $h_{во} = 18$ см
Высота столба керосина, $h_{ке} = 18$ см
Плотность воды, $\rho_{во} = 1000$ кг/м³
Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600$ кг/м³
Плотность керосина, $\rho_{ке} = 800$ кг/м³

Перевод в систему СИ:
$h_{во} = 0.18$ м
$h_{ке} = 0.18$ м

Найти:

$\Delta H$ — разницу в уровнях поверхностей воды и керосина.

Решение:

Задача решается с помощью закона сообщающихся сосудов, согласно которому давление на любом горизонтальном уровне внутри одной и той же жидкости в состоянии равновесия одинаково.

Выберем в качестве уровня отсчета горизонтальную плоскость, проходящую через границу раздела ртути и воды в правом колене сосуда. Давление на этом уровне в правом колене ($P_1$) создается столбом воды высотой $h_{во}$ и атмосферным давлением $P_{атм}$.

$P_1 = P_{атм} + \rho_{во} g h_{во}$

В левом колене на том же уровне давление ($P_2$) создается столбом керосина высотой $h_{ке}$, столбом ртути (высота которого равна разнице уровней ртути в левом и правом коленах, обозначим ее $\Delta h_{рт}$) и атмосферным давлением $P_{атм}$.

$P_2 = P_{атм} + \rho_{ке} g h_{ке} + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Поскольку давления на одном уровне равны ($P_1 = P_2$), мы можем записать равенство:

$P_{атм} + \rho_{во} g h_{во} = P_{атм} + \rho_{ке} g h_{ке} + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Упростив выражение (сократив $P_{атм}$ и $\text{g}$), получим:

$\rho_{во} h_{во} = \rho_{ке} h_{ке} + \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

Из этого уравнения выразим разность уровней ртути $\Delta h_{рт}$:

$\Delta h_{рт} = \frac{\rho_{во} h_{во} - \rho_{ке} h_{ке}}{\rho_{рт}}$

Теперь найдем искомую разницу в уровнях поверхностей воды и керосина, $\Delta H$. Высота свободной поверхности воды над выбранным нами уровнем отсчета равна $h_{во}$. Высота свободной поверхности керосина над этим же уровнем равна сумме высоты столба керосина и разности уровней ртути: $h_{ке} + \Delta h_{рт}$. Тогда разница уровней свободных поверхностей равна:

$\Delta H = (h_{ке} + \Delta h_{рт}) - h_{во}$

По условию задачи высоты столбов воды и керосина одинаковы: $h_{во} = h_{ке} = 18$ см. Следовательно, выражение для $\Delta H$ упрощается:

$\Delta H = \Delta h_{рт}$

Таким образом, искомая разница уровней равна разнице уровней ртути. Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta H = \frac{(\rho_{во} - \rho_{ке}) \cdot h_{во}}{\rho_{рт}} = \frac{(1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 0.18 \text{ м}}{13600 \text{ кг/м}^3}$

$\Delta H = \frac{200 \cdot 0.18}{13600} \text{ м} = \frac{36}{13600} \text{ м} \approx 0.002647$ м

Переведем результат в сантиметры:

$\Delta H \approx 0.002647 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} \approx 0.265$ см

Ответ: разница в уровнях поверхностей воды и керосина составляет примерно 0.265 см.