Номер 2, страница 38, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 20. Выталкивающая сила. Закон Архимеда - номер 2, страница 38.

Условие.

2. Рассмотрим силы давления жидкости, действующие на грани полностью погружённого в жидкость прямоугольного бруска в случае, когда две грани бруска горизонтальны (рис. 20.3, а). Обозначим плотность жидкости $\rho_ж$, высоту бруска $\text{d}$, а площадь его основания $\text{S}$.

Рис. 20.3

a) Объясните, почему направленная вверх сила давления $\vec{F}_{\uparrow}$, действующая на нижнюю грань бруска, больше, чем направленная вниз сила давления $\vec{F}_{\downarrow}$, действующая на верхнюю грань бруска.

б) Объясните, почему силы давления, действующие на противоположные боковые грани бруска, взаимно уравновешивают друг друга.

в) Как направлена равнодействующая $\vec{F}_{\text{A}}$ сил давления жидкости на все грани бруска? Мы обозначили её $\vec{F}_{\text{A}}$, потому что равнодействующая сил давления и есть сила Архимеда, действующая со стороны жидкости на погружённое в неё тело (рис. 20.3, б).

г) Выразите модули сил $\vec{F}_{\uparrow}$ и $\vec{F}_{\downarrow}$, действующих на нижнюю и верхнюю грани бруска, через глубину $\text{a}$, на которой находится верхняя грань, а также $\text{d}$, $\text{S}$ и $\rho_ж$.

д) Найдите модуль равнодействующей этих сил, то есть модуль силы Архимеда. Выразите модуль этой силы $F_{\text{A}}$ через объём бруска $\text{V}$ и плотность жидкости $\rho_ж$.

Решение.

а) Давление жидкости увеличивается с глубиной по закону $p = \rho_ж g h$, где $\text{h}$ - глубина, $\rho_ж$ - плотность жидкости, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Нижняя грань бруска находится на большей глубине ($a+d$), чем верхняя грань (глубина $\text{a}$). Следовательно, давление на нижнюю грань $p_{\uparrow}$ больше, чем давление на верхнюю грань $p_{\downarrow}$. Сила давления определяется как $F = pS$. Поскольку площади верхней и нижней граней одинаковы и равны $\text{S}$, то и сила давления, действующая на нижнюю грань ($\vec{F}_{\uparrow}$), по модулю больше силы давления, действующей на верхнюю грань ($\vec{F}_{\downarrow}$).

Ответ: Сила давления $\vec{F}_{\uparrow}$ больше силы $\vec{F}_{\downarrow}$ потому, что нижняя грань бруска находится на большей глубине, где давление жидкости выше.

б) Рассмотрим две любые противоположные боковые грани. Для каждого малого элемента площади на одной грани на глубине $\text{h}$ найдется симметричный ему элемент площади на той же глубине на противоположной грани. Давление жидкости на этих глубинах одинаково. Силы давления, действующие на эти элементы, равны по модулю ($dF = p dS$), но направлены в противоположные стороны (перпендикулярно граням). При суммировании по всей площади боковых граней эти силы попарно компенсируют друг друга. В результате равнодействующая сил давления на боковые грани равна нулю.

Ответ: Силы давления на противоположные боковые грани взаимно уравновешиваются, так как на одинаковых глубинах давление одинаково, а силы, действующие на симметричные участки, равны по модулю и противоположны по направлению.

в) Равнодействующая всех сил давления, действующих на брусок со стороны жидкости, складывается из сил, действующих на верхнюю, нижнюю и боковые грани. Как было показано в пункте б), силы, действующие на боковые грани, взаимно компенсируются. Как показано в пункте а), сила $\vec{F}_{\uparrow}$, действующая на нижнюю грань и направленная вверх, по модулю больше силы $\vec{F}_{\downarrow}$, действующей на верхнюю грань и направленной вниз. Следовательно, их равнодействующая $\vec{F}_A$ будет направлена в сторону большей силы, то есть вертикально вверх. Эта равнодействующая сила и называется силой Архимеда.

Ответ: Равнодействующая сила $\vec{F}_A$ (сила Архимеда) направлена вертикально вверх.

г)

Дано:

Плотность жидкости: $\rho_ж$

Высота бруска: $\text{d}$

Площадь основания бруска: $\text{S}$

Глубина погружения верхней грани: $\text{a}$

Найти:

$F_{\uparrow}$ - ?, $F_{\downarrow}$ - ?

Решение:

Давление жидкости на глубине $\text{h}$ рассчитывается по формуле $p = \rho_ж g h$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Сила давления на поверхность равна произведению давления на площадь этой поверхности: $F = pS$.

Верхняя грань бруска находится на глубине $h_1 = a$. Давление на этой глубине составляет $p_{\downarrow} = \rho_ж g a$. Тогда модуль силы давления, действующей на верхнюю грань, равен:

$F_{\downarrow} = p_{\downarrow} S = \rho_ж g a S$

Нижняя грань бруска находится на глубине $h_2 = a + d$. Давление на этой глубине составляет $p_{\uparrow} = \rho_ж g (a+d)$. Тогда модуль силы давления, действующей на нижнюю грань, равен:

$F_{\uparrow} = p_{\uparrow} S = \rho_ж g (a+d) S$

Ответ: Модуль силы, действующей на верхнюю грань: $F_{\downarrow} = \rho_ж g a S$. Модуль силы, действующей на нижнюю грань: $F_{\uparrow} = \rho_ж g (a+d) S$.

д)

Дано:

$F_{\downarrow} = \rho_ж g a S$

$F_{\uparrow} = \rho_ж g (a+d) S$

Объём бруска: $V = S \cdot d$

Плотность жидкости: $\rho_ж$

Найти:

$F_A$ - ?

Решение:

Равнодействующая сил давления, действующих на верхнюю и нижнюю грани, и есть сила Архимеда $F_A$. Поскольку силы $\vec{F}_{\uparrow}$ и $\vec{F}_{\downarrow}$ направлены в противоположные стороны (вверх и вниз соответственно), модуль их равнодействующей равен разности их модулей:

$F_A = F_{\uparrow} - F_{\downarrow}$

Подставим выражения для сил, полученные в пункте г):

$F_A = \rho_ж g (a+d) S - \rho_ж g a S$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$F_A = \rho_ж g a S + \rho_ж g d S - \rho_ж g a S = \rho_ж g d S$

Произведение площади основания $\text{S}$ на высоту бруска $\text{d}$ равно его объёму: $V = S d$. Заменим $S d$ в формуле на $\text{V}$:

$F_A = \rho_ж g V$

Ответ: Модуль силы Архимеда $F_A = \rho_ж g V$.