Номер 7, страница 40, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 20. Выталкивающая сила. Закон Архимеда - номер 7, страница 40.

Условие.

7. Туго накачанный мяч массой 400 г и объёмом 4 дм$^3$ погружают в воду до половины и удерживают рукой в этом положении.

а) Сделайте чертёж, на котором изобразите все приложенные к мячу силы. Внешнюю силу обозначьте $\vec{F}$, а силу Архимеда — $\vec{F}_A$.

б) Чему равна действующая на мяч сила Архимеда?

в) Какую силу надо прикладывать рукой к мячу, чтобы удерживать его в таком положении?

г) Какую силу надо приложить рукой, чтобы утопить мяч в воде полностью?

д) Какую силу надо прикладывать к мячу, чтобы удерживать его в воде на глубине 1 м?

е) Какая часть объёма мяча погружена в воду, когда действующая на мяч сила Архимеда уравновешивает силу тяжести?

ж) Будет ли мяч находиться при этом в равновесии?

Решение.

Дано:

Масса мяча, $m = 400 \text{ г}$

Объём мяча, $V = 4 \text{ дм}^3$

Плотность воды, $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.4 \text{ кг}$

$V = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.004 \text{ м}^3$

Найти:

а) чертёж сил;

б) $F_A$ при погружении на половину;

в) $\text{F}$ для удержания в положении на половину;

г) $\text{F}$ для полного погружения;

д) $\text{F}$ для удержания на глубине 1 м;

е) $\frac{V_{погр}}{V}$ при равновесии $F_A$ и силы тяжести;

ж) будет ли мяч в равновесии в случае е).

Решение:

а) Сделайте чертёж, на котором изобразите все приложенные к мячу силы. Внешнюю силу обозначьте $\vec{F}$, а силу Архимеда — $\vec{F_A}$.

На мяч, погруженный в воду на половину объёма и удерживаемый рукой, действуют три силы:
1. Сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз из центра масс мяча.
2. Сила Архимеда ($\vec{F}_A$), выталкивающая сила, направленная вертикально вверх из центра погруженной части мяча.
3. Внешняя сила ($\vec{F}$), прикладываемая рукой, направленная вертикально вниз.
Так как мяч находится в равновесии, сумма всех сил равна нулю.
_Am⃗gF⃗

Ответ: чертёж с указанием сил представлен выше.

б) Чему равна действующая на мяч сила Архимеда?

Сила Архимеда определяется по формуле $F_A = \rho_{воды} g V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объём погруженной части тела.
По условию мяч погружен на половину, следовательно, объём погруженной части равен $V_{погр} = \frac{V}{2}$.
$V_{погр} = \frac{0.004 \text{ м}^3}{2} = 0.002 \text{ м}^3$.
Рассчитаем силу Архимеда:
$F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.002 \text{ м}^3 = 20 \text{ Н}$.

Ответ: действующая на мяч сила Архимеда равна 20 Н.

в) Какую силу надо прикладывать рукой к мячу, чтобы удерживать его в таком положении?

Мяч находится в равновесии, значит, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю: $\vec{F}_A + m\vec{g} + \vec{F} = 0$.
В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, уравнение равновесия имеет вид: $F_A - mg - F = 0$.
Отсюда выразим искомую силу $\text{F}$: $F = F_A - mg$.
Сначала вычислим силу тяжести, действующую на мяч:
$F_{тяж} = mg = 0.4 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 4 \text{ Н}$.
Теперь найдём силу, которую нужно приложить рукой:
$F = 20 \text{ Н} - 4 \text{ Н} = 16 \text{ Н}$.
Сила направлена вертикально вниз.

Ответ: чтобы удерживать мяч, надо прикладывать силу 16 Н.

г) Какую силу надо приложить рукой, чтобы утопить мяч в воде полностью?

Когда мяч утоплен полностью, объём погруженной части равен полному объёму мяча: $V_{погр} = V = 0.004 \text{ м}^3$.
Найдём новую силу Архимеда ($F'_A$):
$F'_A = \rho_{воды} g V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.004 \text{ м}^3 = 40 \text{ Н}$.
Условие равновесия остаётся прежним, но с новой силой Архимеда и новой силой руки $F'$: $F'_A - mg - F' = 0$.
$F' = F'_A - mg = 40 \text{ Н} - 4 \text{ Н} = 36 \text{ Н}$.

Ответ: чтобы утопить мяч полностью, нужно приложить силу 36 Н.

д) Какую силу надо прикладывать к мячу, чтобы удерживать его в воде на глубине 1 м?

Сила Архимеда для полностью погруженного тела не зависит от глубины погружения (при условии, что плотность жидкости не меняется с глубиной). Поэтому сила Архимеда будет такой же, как и в предыдущем пункте, $F'_A = 40 \text{ Н}$.
Соответственно, и сила, необходимая для удержания мяча, не изменится.
$F' = 36 \text{ Н}$.

Ответ: для удержания мяча на глубине 1 м нужно прикладывать силу 36 Н.

е) Какая часть объёма мяча погружена в воду, когда действующая на мяч сила Архимеда уравновешивает силу тяжести?

Это условие свободного плавания тела, когда внешняя сила не требуется ($F=0$). Условие равновесия: $F_A = mg$.
$\rho_{воды} g V_{погр} = mg$.
Сократив $\text{g}$, получим: $\rho_{воды} V_{погр} = m$.
Выразим объём погруженной части: $V_{погр} = \frac{m}{\rho_{воды}} = \frac{0.4 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.0004 \text{ м}^3$.
Чтобы найти, какую часть от общего объёма это составляет, разделим погруженный объём на полный объём мяча:
$\frac{V_{погр}}{V} = \frac{0.0004 \text{ м}^3}{0.004 \text{ м}^3} = \frac{1}{10}$.

Ответ: в воду погружена $\frac{1}{10}$ (или 10%) объёма мяча.

ж) Будет ли мяч находиться при этом в равновесии?

Да, будет. Состояние, при котором сила Архимеда равна силе тяжести ($F_A = mg$), является условием равновесия для плавающего тела. Сумма всех сил, действующих на мяч, равна нулю, что и означает механическое равновесие.

Ответ: да, мяч будет находиться в равновесии.