Номер 2, страница 113, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 25. «Золотое правило» механики. Коэффициент полезного действия механизмов - номер 2, страница 113.

Условие.

2. Чему равен КПД системы блоков, изображённой на рисунке 9, если КПД каждого блока равен 90 %?

Рис. 9

Решение.

Дано:

КПД каждого блока, $\eta = 90\%$

Количество блоков, $n = 4$

Перевод в безразмерные величины:

$\eta = 0.9$

Найти:

КПД всей системы блоков, $\eta_{общ}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) системы блоков определяется как отношение полезной работы к затраченной работе:

$\eta_{общ} = \frac{A_{полезн}}{A_{затр}}$

Полезная работа заключается в подъеме груза весом $\text{P}$ на высоту $\text{h}$: $A_{полезн} = P \cdot h$.

Затраченная работа — это работа, совершаемая приложенной силой $\text{F}$ на перемещении $\text{s}$: $A_{затр} = F \cdot s$.

В данной системе все блоки неподвижные, они лишь изменяют направление движения троса. Такая система не даёт выигрыша в силе, а значит, перемещение точки приложения силы $\text{s}$ равно высоте подъема груза $\text{h}$. Таким образом, КПД системы можно выразить через отношение сил:

$\eta_{общ} = \frac{P \cdot h}{F \cdot h} = \frac{P}{F}$

Теперь найдем соотношение между силой $\text{F}$ и весом груза $\text{P}$, учитывая потери на трение в каждом блоке. КПД одного блока $\eta$ показывает, какая часть силы передается дальше по тросу. Когда трос проходит через блок, из-за трения в оси натяжение троса уменьшается. Если на входе в блок натяжение было $T_{вх}$, то на выходе оно станет $T_{вых} = \eta \cdot T_{вх}$.

Проследим, как изменяется натяжение троса от точки приложения силы $\text{F}$ до груза $\text{P}$:

1. Сила $\text{F}$ является входной силой для блока 4. Натяжение троса после блока 4 (между блоками 4 и 3) будет равно:$T_1 = \eta \cdot F$.

2. Натяжение $T_1$ является входной силой для блока 3. Натяжение троса после блока 3 (между блоками 3 и 2) будет равно:$T_2 = \eta \cdot T_1 = \eta \cdot (\eta F) = \eta^2 F$.

3. Натяжение $T_2$ является входной силой для блока 2. Натяжение троса после блока 2 (между блоками 2 и 1) будет равно:$T_3 = \eta \cdot T_2 = \eta \cdot (\eta^2 F) = \eta^3 F$.

4. Натяжение $T_3$ является входной силой для блока 1. Сила, поднимающая груз $\text{P}$, является выходной силой этого блока. Для равномерного подъема груза эта сила должна быть равна его весу:$P = \eta \cdot T_3 = \eta \cdot (\eta^3 F) = \eta^4 F$.

Мы получили соотношение между весом груза $\text{P}$ и приложенной силой $\text{F}$: $P = \eta^4 F$.

Теперь можем найти общий КПД системы:

$\eta_{общ} = \frac{P}{F} = \frac{\eta^4 F}{F} = \eta^4$

Подставим числовое значение КПД одного блока $\eta = 0.9$:

$\eta_{общ} = (0.9)^4 = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.81 \cdot 0.81 = 0.6561$

Выразим результат в процентах:

$\eta_{общ} = 0.6561 \cdot 100\% = 65.61\%$

Ответ: КПД системы блоков равен $65.61\%$.