Номер 3, страница 112, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 23. Простые механизмы. Рычаг - номер 3, страница 112.

Условие.

3. Проволоку массой 40 г подвесили за середину, согнув предварительно так, как показано на рисунке 6. Чему равна масса груза, который надо подвесить в точке А, чтобы проволока находилась в равновесии?

Рис. 6

Решение.

Дано:

$m = 40$ г

В системе СИ:

$m = 0.04$ кг

Найти:

$m_{груза}$ - ?

Решение:

Для того чтобы проволока находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, вращающих ее по часовой стрелке, была равна сумме моментов сил, вращающих ее против часовой стрелки. Осью вращения является точка подвеса.

Пусть полная длина проволоки равна $\text{L}$, а ее масса $m = 40$ г. Поскольку проволока однородная, ее масса распределена равномерно по длине.

Проволока подвешена за середину, значит, на каждую сторону от точки подвеса приходится половина длины ($L/2$) и половина массы ($m/2$).

1. Рассмотрим правую часть проволоки. Она представляет собой прямой стержень длиной $l_1 = L/2$ и массой $m_1 = m/2$. Центр масс этой части находится посередине, то есть на расстоянии $d_1 = \frac{L/2}{2} = L/4$ от оси вращения. Сила тяжести этой части $F_1 = m_1 g = \frac{m}{2}g$ создает вращающий момент по часовой стрелке:

$M_1 = F_1 d_1 = \frac{m}{2}g \cdot \frac{L}{4} = \frac{mgL}{8}$

2. Рассмотрим левую часть проволоки. Она имеет длину $l_2 = L/2$ и массу $m_2 = m/2$. Эта часть согнута пополам, образуя два параллельных участка длиной $L/4$ каждый. Центр масс этой согнутой части будет находиться посередине ее длины, то есть на расстоянии $d_2 = \frac{L/4}{2} = L/8$ от оси вращения. Сила тяжести этой части $F_2 = m_2 g = \frac{m}{2}g$ создает вращающий момент против часовой стрелки:

$M_2 = F_2 d_2 = \frac{m}{2}g \cdot \frac{L}{8} = \frac{mgL}{16}$

3. В точке А, которая находится на конце левой части проволоки (на расстоянии $d_{груза} = L/4$ от оси вращения), подвешен груз массой $m_{груза}$. Сила тяжести груза $F_{груза} = m_{груза}g$ также создает вращающий момент против часовой стрелки:

$M_{груза} = F_{груза} d_{груза} = m_{груза}g \cdot \frac{L}{4}$

4. Запишем условие равновесия (равенство моментов, действующих по часовой и против часовой стрелки):

$M_1 = M_2 + M_{груза}$

Подставим выражения для моментов:

$\frac{mgL}{8} = \frac{mgL}{16} + m_{груза}g\frac{L}{4}$

Сократим обе части уравнения на $\text{gL}$ (так как $g \neq 0$ и $L \neq 0$):

$\frac{m}{8} = \frac{m}{16} + \frac{m_{груза}}{4}$

Выразим отсюда массу груза $m_{груза}$:

$\frac{m_{груза}}{4} = \frac{m}{8} - \frac{m}{16}$

$\frac{m_{груза}}{4} = \frac{2m - m}{16} = \frac{m}{16}$

$m_{груза} = \frac{4m}{16} = \frac{m}{4}$

Теперь подставим значение массы проволоки:

$m_{груза} = \frac{40 \text{ г}}{4} = 10 \text{ г}$

Ответ: масса груза равна 10 г.