Номер 11.14, страница 36 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 11. Плотность вещества. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 11.14, страница 36.

11.14 [241] Железный и алюминиевый стержни имеют одинаковые массы и площади поперечного сечения. Какой из стержней длиннее?

Дано:

Железный стержень (индекс "ж") и алюминиевый стержень (индекс "а").

$m_ж = m_а = m$ (массы стержней одинаковы)

$S_ж = S_а = S$ (площади поперечного сечения стержней одинаковы)

Плотность железа (справочное значение): $\rho_ж = 7800 \text{ кг/м}^3$

Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_а = 2700 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Сравнить длины стержней $L_ж$ и $L_а$.

Решение:

Масса любого тела может быть выражена через его плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Объем стержня, имеющего форму цилиндра или призмы, равен произведению площади его поперечного сечения $S$ на длину $L$:

$V = S \cdot L$

Подставим выражение для объема в формулу для массы:

$m = \rho \cdot S \cdot L$

Выразим из этой формулы длину стержня $L$:

$L = \frac{m}{\rho \cdot S}$

Запишем это выражение для каждого из стержней:

Длина железного стержня: $L_ж = \frac{m_ж}{\rho_ж \cdot S_ж}$

Длина алюминиевого стержня: $L_а = \frac{m_а}{\rho_а \cdot S_а}$

По условию задачи, массы $m$ и площади поперечного сечения $S$ стержней одинаковы. Из формулы для длины $L = \frac{m}{\rho \cdot S}$ видно, что при одинаковых $m$ и $S$ длина стержня $L$ обратно пропорциональна его плотности $\rho$. Это означает, что чем меньше плотность материала, тем больше будет длина стержня при той же массе и площади сечения.

Сравним плотности железа и алюминия:

$\rho_ж = 7800 \text{ кг/м}^3$

$\rho_а = 2700 \text{ кг/м}^3$

$\rho_ж > \rho_а$

Поскольку плотность железа больше плотности алюминия, для достижения одинаковой массы при одинаковой площади поперечного сечения, длина алюминиевого стержня должна быть больше длины железного стержня.

$L_а > L_ж$

Ответ: Алюминиевый стержень длиннее.