Номер 61.2, страница 216 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 61. Электромагнитная индукция. Глава 8. Магнитные и электромагнитные явления - номер 61.2, страница 216.

61.2 [н] Какой из контуров (см. рис. VIII-25) и на какой угол надо повернуть относительно оси $OO$, чтобы магнитные потоки через контуры стали равны? стали максимальны? Как будут изменяться магнитные потоки $\Phi 1$ и $\Phi 2$, если контуры вращать относительно оси $O'O'$?

Дано:

Два прямоугольных контура: контур 1 со сторонами $a$ и $b$; контур 2 со сторонами $a$ и $c$.

Площади контуров: $S_1 = ab$, $S_2 = ac$. Из рисунка (не приведён, но подразумевается условием задачи) следует, что $b > c$.

Контуры находятся в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$.

В начальный момент времени плоскости контуров перпендикулярны вектору $\vec{B}$ (нормали к контурам $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ параллельны $\vec{B}$).

Ось вращения $OO$ совпадает со стороной $a$ обоих контуров.

Ось вращения $O'O'$ совпадает со стороной $b$ для контура 1 и со стороной $c$ для контура 2.

Найти:

1. Какой контур и на какой угол $\theta$ повернуть вокруг оси $OO$ для равенства магнитных потоков.

2. На какой угол повернуть контуры вокруг оси $OO$, чтобы потоки стали максимальны.

3. Характер изменения потоков $\Phi_1$ и $\Phi_2$ при вращении вокруг оси $O'O'$.

Решение:

Магнитный поток через плоский контур площадью $S$ в однородном магнитном поле индукцией $B$ определяется формулой $\Phi = BS \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости контура $\vec{n}$.

В начальном положении нормали к обоим контурам параллельны вектору $\vec{B}$, поэтому для них угол $\alpha = 0^\circ$. Начальные магнитные потоки равны:

$\Phi_1 = B S_1 \cos 0^\circ = B S_1 = Bab$

$\Phi_2 = B S_2 \cos 0^\circ = B S_2 = Bac$

Поскольку $b > c$, начальный поток через первый контур больше, чем через второй: $\Phi_1 > \Phi_2$.

Какой из контуров и на какой угол надо повернуть относительно оси OO, чтобы магнитные потоки через контуры стали равны?

Чтобы магнитные потоки стали равными, необходимо уменьшить больший из них, то есть $\Phi_1$. Увеличить меньший поток $\Phi_2$ вращением невозможно, так как он уже находится в положении максимального потока ($\cos\alpha = 1$). Для уменьшения потока $\Phi_1$ следует повернуть контур 1 вокруг оси $OO$ на такой угол $\theta$, чтобы угол между его нормалью и полем $\vec{B}$ стал равен $\theta$.

Новый поток через контур 1 будет равен $\Phi'_1 = B S_1 \cos \theta = Bab \cos \theta$.

Приравниваем этот поток к потоку через неповёрнутый контур 2: $\Phi'_1 = \Phi_2$.

$Bab \cos \theta = Bac$

Выражаем косинус угла поворота:

$\cos \theta = \frac{Bac}{Bab} = \frac{c}{b}$

Следовательно, искомый угол поворота равен:

$\theta = \arccos\left(\frac{c}{b}\right)$

Ответ: необходимо повернуть контур 1 (больший) на угол $\theta = \arccos(c/b)$ относительно оси $OO$.

На какой угол надо повернуть контуры, чтобы магнитные потоки через них стали максимальны?

Магнитный поток $\Phi = BS \cos\alpha$ имеет максимальное значение $\Phi_{max} = BS$ при условии $\cos\alpha = 1$, что соответствует углу $\alpha = 0^\circ$.

Это положение, при котором плоскость контура перпендикулярна линиям магнитной индукции.

В начальном состоянии оба контура уже находятся в положении максимального потока.

Ответ: контуры поворачивать не нужно, так как они уже находятся в положении, при котором магнитные потоки через них максимальны. Угол поворота равен $0^\circ$.

Как будут изменяться магнитные потоки Ф1 и Ф2, если контуры вращать относительно оси O’O’?

Ось вращения $O'O'$ для каждого из контуров лежит в его плоскости и перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$. При вращении контура на угол $\theta$ относительно начального положения, угол $\alpha$ между нормалью к контуру и вектором $\vec{B}$ также становится равным $\theta$.

Следовательно, магнитные потоки через контуры будут изменяться в зависимости от угла поворота $\theta$ по закону косинуса:

Для контура 1: $\Phi_1(\theta) = B S_1 \cos \theta = Bab \cos \theta$.

Для контура 2: $\Phi_2(\theta) = B S_2 \cos \theta = Bac \cos \theta$.

Это означает, что при вращении контуров вокруг оси $O'O'$ магнитные потоки через них будут изменяться периодически (гармонически). Они будут принимать максимальные значения ($+Bab$ и $+Bac$) при $\theta=0, 2\pi, ...$, нулевые значения при $\theta=\pi/2, 3\pi/2, ...$ и минимальные (отрицательные) значения ($-Bab$ и $-Bac$) при $\theta=\pi, 3\pi, ...$.

Ответ: магнитные потоки $\Phi_1$ и $\Phi_2$ будут изменяться по гармоническому закону (пропорционально $\cos\theta$), где $\theta$ — угол поворота контура относительно начального положения. Потоки будут периодически изменяться от максимального значения $BS$ до минимального $-BS$.