Номер 61.1, страница 216 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 61. Электромагнитная индукция. Глава 8. Магнитные и электромагнитные явления - номер 61.1, страница 216.

61.1 [н] Имеются два замкнутых контура — круговой 1 диаметром $A$ и квадратный 2 со стороной, также равной $A$ (рис. VIII-25). Контуры помещены в однородное магнитное поле так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Равны ли магнитные потоки $\Phi_1$ и $\Phi_2$, пронизывающие эти контуры? Как изменятся магнитные потоки, если индукцию магнитного поля увеличить в 3 раза? Будут ли равны магнитные потоки, если контур 2 повернуть на угол $90^\circ$? Как изменится магнитный поток $\Phi_2$ контура 2, если его повернуть на угол $90^\circ$ и превратить в прямоугольник, сохраняя прежнюю сумму сторон?

Дано:

Контур 1: круговой, диаметр $d_1 = A$

Контур 2: квадратный, сторона $a_2 = A$

Магнитное поле: однородное, индукция $\vec{B}$

Ориентация: плоскости контуров взаимно перпендикулярны

Найти:

1. Сравнить магнитные потоки $\Phi_1$ и $\Phi_2$.

2. Как изменятся $\Phi_1$ и $\Phi_2$, если индукцию поля увеличить в 3 раза?

3. Будут ли равны потоки, если контур 2 повернуть на 90°?

4. Как изменится поток $\Phi_2$, если контур 2 повернуть на 90° и превратить в прямоугольник с сохранением периметра?

Решение:

Равны ли магнитные потоки Ф1 и Ф2, пронизывающие эти контуры?

Магнитный поток $\Phi$ через контур определяется формулой: $\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$, где $B$ – модуль индукции магнитного поля, $S$ – площадь контура, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура.

Найдем площади контуров:

1. Площадь кругового контура 1: $S_1 = \pi r_1^2 = \pi (\frac{d_1}{2})^2 = \pi (\frac{A}{2})^2 = \frac{\pi A^2}{4}$.

2. Площадь квадратного контура 2: $S_2 = a_2^2 = A^2$.

Сравним площади: $S_1 = \frac{\pi}{4} A^2 \approx 0.785 A^2$. Очевидно, что $S_1 \neq S_2$.

Поскольку плоскости контуров взаимно перпендикулярны, их нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ также перпендикулярны. Если вектор магнитной индукции $\vec{B}$ составляет угол $\alpha_1$ с нормалью $\vec{n_1}$ и угол $\alpha_2$ с нормалью $\vec{n_2}$, то потоки равны:

$\Phi_1 = B S_1 \cos(\alpha_1)$

$\Phi_2 = B S_2 \cos(\alpha_2)$

Для того чтобы потоки были равны ($\Phi_1 = \Phi_2$), должно выполняться условие $S_1 \cos(\alpha_1) = S_2 \cos(\alpha_2)$. Так как $S_1 \neq S_2$, равенство потоков возможно только при определённом сочетании углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$, то есть при специальной ориентации магнитного поля. В общем случае магнитные потоки не равны.

Ответ: Нет, в общем случае магнитные потоки не равны, так как площади контуров различны ($S_1 \neq S_2$), и равенство может быть достигнуто только при специальной ориентации магнитного поля.

Как изменятся магнитные потоки, если индукцию магнитного поля увеличить в 3 раза?

Магнитный поток прямо пропорционален индукции магнитного поля: $\Phi = B S \cos(\alpha)$.

Пусть новая индукция поля $B' = 3B$. Тогда новые магнитные потоки будут:

$\Phi'_1 = B' S_1 \cos(\alpha_1) = (3B) S_1 \cos(\alpha_1) = 3 (B S_1 \cos(\alpha_1)) = 3\Phi_1$

$\Phi'_2 = B' S_2 \cos(\alpha_2) = (3B) S_2 \cos(\alpha_2) = 3 (B S_2 \cos(\alpha_2)) = 3\Phi_2$

Ответ: Магнитные потоки через оба контура увеличатся в 3 раза.

Будут ли равны магнитные потоки, если контур 2 повернуть на угол 90°?

Поворот контура 2 на 90° может привести к тому, что его плоскость станет параллельна плоскости контура 1 (например, при повороте вокруг общей оси, лежащей в плоскости контура 2). В этом случае их нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ станут параллельны, и угол между вектором $\vec{B}$ и каждой из нормалей будет одинаковым: $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$.

Магнитные потоки в этом случае будут равны:

$\Phi_1 = B S_1 \cos(\alpha)$

$\Phi'_2 = B S_2 \cos(\alpha)$

Поскольку площади контуров не равны ($S_1 = \frac{\pi A^2}{4}$ и $S_2 = A^2$), то и магнитные потоки через них не будут равны (за исключением случая, когда $\cos(\alpha) = 0$, то есть поле параллельно плоскостям контуров, и оба потока равны нулю).

Ответ: Нет, магнитные потоки не будут равны, так как при параллельном расположении контуров их площади по-прежнему различны.

Как изменится магнитный поток Ф2 контура 2, если его повернуть на угол 90° и превратить в прямоугольник, сохраняя прежнюю сумму сторон?

Рассмотрим два изменения, которые претерпевает контур 2:

1. Изменение площади. Исходный контур — квадрат со стороной $A$. Его периметр (сумма сторон) $P = 4A$, а площадь $S_2 = A^2$. Новый контур — прямоугольник с таким же периметром $P = 4A$. Пусть стороны прямоугольника равны $b$ и $c$. Тогда $2(b+c) = 4A$, или $b+c = 2A$. Площадь прямоугольника $S'_2 = b \cdot c$. Из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поскольку контур превращается в прямоугольник (подразумевается, что не в квадрат), его площадь уменьшится: $S'_2 < A^2 = S_2$.

2. Изменение ориентации. Исходный контур 2 был перпендикулярен контуру 1. Поворот на 90°, как и в предыдущем пункте, делает его плоскость параллельной плоскости контура 1. Это означает, что угол между нормалью к контуру и вектором $\vec{B}$ изменится. Если исходный угол был $\alpha_2$, а у контура 1 он был $\alpha_1$, то новый угол для контура 2 станет равным $\alpha_1$.

Исходный поток через контур 2: $\Phi_2 = B S_2 \cos(\alpha_2) = B A^2 \cos(\alpha_2)$.

Новый поток через контур 2: $\Phi'_2 = B S'_2 \cos(\alpha_1)$, где $S'_2 < A^2$.

Поскольку изменяются и площадь контура (уменьшается), и его ориентация относительно поля (угол $\alpha$ меняется), итоговое изменение потока зависит от начальной ориентации магнитного поля. Например:

• Если поле $\vec{B}$ было перпендикулярно плоскости контура 2 ($\alpha_2 = 0^\circ$) и параллельно плоскости контура 1 ($\alpha_1 = 90^\circ$), то исходный поток был максимален ($\Phi_2 = B A^2$), а новый станет равен нулю ($\Phi'_2 = 0$). Поток уменьшится до нуля.
• Если поле $\vec{B}$ было параллельно плоскости контура 2 ($\alpha_2 = 90^\circ$) и перпендикулярно плоскости контура 1 ($\alpha_1 = 0^\circ$), то исходный поток был равен нулю ($\Phi_2 = 0$), а новый станет $\Phi'_2 = B S'_2 > 0$. Поток увеличится.

Таким образом, однозначно определить характер изменения потока (увеличится он или уменьшится) невозможно без информации о направлении вектора магнитной индукции.

Ответ: Магнитный поток изменится, так как изменится и площадь контура (она уменьшится), и его ориентация в пространстве. Характер изменения (увеличение или уменьшение) зависит от начального направления вектора индукции магнитного поля.