Страница 175 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

48.4 [д. 139] В одном из своих произведений известный русский писатель В. К. Арсеньев так описывает поведение шаровой молнии, медленно плывущей по воздуху: «...шар всячески избегает соприкосновения с ветвями деревьев, обходит каждый сучок, каждую веточку или былинку». Объясните причины такого движения.

Решение

Поведение шаровой молнии, описанное В. К. Арсеньевым, объясняется электростатическими явлениями. Природа шаровой молнии до конца не изучена, но большинство гипотез сходится на том, что она представляет собой сгусток плазмы, обладающий значительным электрическим зарядом.

1. Наличие сильного электрического поля. Заряженная шаровая молния создает вокруг себя сильное электрическое поле.

2. Электростатическая индукция и концентрация поля. Когда шаровая молния приближается к заземленным или нейтральным предметам, таким как деревья, их ветви, сучки и даже травинки, ее электрическое поле вызывает на них явление электростатической индукции (перераспределение зарядов). На острых концах и выступах этих предметов (которые действуют как своего рода громоотводы) напряженность электрического поля многократно возрастает.

3. Коронный разряд. Очень сильное электрическое поле у острых кончиков веток и листьев вызывает ионизацию окружающего воздуха. Электроны отрываются от молекул воздуха, создавая ионы. Этот процесс называется коронным разрядом. Важно, что образующиеся вблизи предмета ионы воздуха будут иметь тот же знак заряда, что и сама шаровая молния. Например, если молния заряжена положительно, она будет отталкивать от себя положительные ядра атомов воздуха у ветки, создавая облако положительных ионов.

4. Сила отталкивания. Согласно закону Кулона, одноименные заряды отталкиваются. Между шаровой молнией и облаком одноименно заряженных ионов, возникшим у поверхности ветки, возникает сила электростатического отталкивания. Эта сила действует как невидимый барьер, который отталкивает шаровую молнию от препятствия, заставляя ее «обходить» ветви, сучки и былинки.

Таким образом, «разумное» поведение шаровой молнии является следствием фундаментальных законов электростатики.

Ответ: Причиной такого движения является сила электростатического отталкивания. Шаровая молния имеет большой электрический заряд и создает вокруг себя сильное электрическое поле. Приближаясь к предметам, особенно к заостренным (веткам, сучкам), она вызывает на их концах ионизацию воздуха (коронный разряд). В результате у поверхности предмета образуется облако ионов с тем же знаком заряда, что и у молнии. Взаимное отталкивание одноименных зарядов шаровой молнии и ионизированного воздуха заставляет молнию изменять траекторию и огибать препятствия.

48.5 [Д. 140] Одной из поверхностей тонкой металлической пластинки сообщили некоторый заряд. Одинаково ли электрическое поле по обе стороны пластинки?

Металлическая пластинка является проводником, а это означает, что заряды в ней могут свободно перемещаться. Когда одной из поверхностей сообщают некоторый заряд, например, $Q$, эти заряды практически мгновенно перераспределяются по всей поверхности проводника из-за сил взаимного отталкивания (или притяжения, в зависимости от знака заряда и индуцированных зарядов). В состоянии электростатического равновесия, которое устанавливается очень быстро, выполняются два условия:

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.
2. Весь избыточный заряд располагается на поверхности проводника.

Для изолированной тонкой пластинки, находящейся вдали от других тел, симметрия системы требует, чтобы сообщенный заряд $Q$ распределился поровну между двумя ее поверхностями. Таким образом, на каждой из поверхностей окажется заряд $Q/2$.

Теперь рассмотрим электрическое поле, создаваемое этими зарядами. Каждую поверхность пластинки можно аппроксимировать бесконечной заряженной плоскостью. Поверхностная плотность заряда на каждой из них будет $\sigma' = \frac{Q/2}{S} = \frac{Q}{2S}$, где $S$ — площадь одной поверхности.

Напряженность поля, создаваемого одной такой плоскостью, по модулю равна $E' = \frac{\sigma'}{2\epsilon_0}$, где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная. Поле направлено перпендикулярно плоскости.

Снаружи пластинки, например, справа, поля от обеих поверхностей (ближней и дальней) будут направлены в одну сторону (от пластинки, если $Q > 0$). Согласно принципу суперпозиции, результирующее поле будет равно сумме полей от каждой поверхности: $E_{справа} = E'_{ближняя} + E'_{дальняя} = \frac{\sigma'}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma'}{2\epsilon_0} = \frac{2\sigma'}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma'}{\epsilon_0} = \frac{Q/2S}{\epsilon_0} = \frac{Q}{2S\epsilon_0}$

Аналогично, с левой стороны от пластинки поля от обеих поверхностей также будут складываться, и модуль результирующей напряженности будет таким же: $E_{слева} = \frac{Q}{2S\epsilon_0}$

Таким образом, модули напряженности электрического поля по обе стороны от пластинки одинаковы. Однако электрическое поле является векторной величиной, которая характеризуется не только модулем, но и направлением. Векторы напряженности по обе стороны пластинки направлены в противоположные стороны (перпендикулярно от пластинки, если ее заряд положителен, и к пластинке, если отрицателен). Поскольку направления различны, сами векторы электрического поля не являются одинаковыми.

Ответ: Электрические поля по обе стороны пластинки одинаковы по модулю, но противоположны по направлению. Следовательно, как векторы, поля не одинаковы.

48.6 [1201] В электрическом поле равномерно заряженного шара в точке A находится заряженная пылинка (рис. VII-17). Как направлена сила, действующая на пылинку со стороны поля?

Рис. VII-17

Решение

На рисунке показан равномерно заряженный шар и заряженная пылинка, находящаяся в точке А. Знак «+» у шара и у пылинки указывает на то, что оба тела имеют положительный электрический заряд.

Для определения направления силы, действующей на пылинку, можно воспользоваться основным правилом электростатики: тела с одноименными зарядами отталкиваются, а с разноименными — притягиваются.

Так как и шар, и пылинка заряжены положительно (то есть их заряды одноименные), они будут испытывать силу взаимного отталкивания. Сила, действующая на пылинку со стороны электрического поля шара, будет направлена вдоль прямой, соединяющей центр шара и пылинку, в сторону от шара.

Это также следует из определения вектора напряженности электрического поля. Положительно заряженный шар создает электрическое поле, вектор напряженности $\vec{E}$ которого в любой точке направлен радиально от центра шара. Сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q$ в этом поле, определяется формулой $\vec{F} = q\vec{E}$. Поскольку заряд пылинки $q$ положителен ($q>0$), вектор силы $\vec{F}$ будет сонаправлен с вектором напряженности $\vec{E}$, то есть также направлен от центра шара.

Ответ: Сила, действующая на пылинку, направлена от шара по прямой, соединяющей центр шара и пылинку.

48.7 [1202] Электрическое поле заряженного металлического шара действует на заряженную пылинку, находящуюся вне шара. Действует ли поле пылинки на шар?

Решение

Взаимодействие между заряженным металлическим шаром и заряженной пылинкой является электростатическим. Это взаимодействие подчиняется фундаментальным законам физики, в частности, третьему закону Ньютона.

Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению. В данном случае, если шар действует на пылинку с некоторой силой $ \vec{F}_{шар \to пылинка} $, то пылинка обязательно действует на шар с силой $ \vec{F}_{пылинка \to шар} $, причем:

$ \vec{F}_{пылинка \to шар} = - \vec{F}_{шар \to пылинка} $

Поскольку в условии задачи сказано, что поле шара действует на пылинку (то есть сила $ \vec{F}_{шар \to пылинка} $ не равна нулю), то из этого следует, что и сила, действующая со стороны пылинки на шар, также не равна нулю.

Рассмотрим это взаимодействие с точки зрения электрических полей. Заряженная пылинка, как и любое заряженное тело, создает вокруг себя собственное электрическое поле. Это поле распространяется во все стороны, в том числе и в ту область пространства, где находится металлический шар. Электрическое поле пылинки будет действовать на заряды, из которых состоит шар.

Так как шар металлический (проводящий), под действием внешнего электрического поля пылинки произойдет перераспределение свободных зарядов на его поверхности. Этот процесс называется электростатической индукцией. Например, если и шар, и пылинка заряжены положительно, то под действием отталкивающей силы со стороны пылинки, положительные заряды на шаре сместятся на его дальнюю сторону. В результате на ближней к пылинке стороне шара концентрация положительного заряда уменьшится, а на дальней — увеличится. Именно с этим перераспределенным зарядом и будет взаимодействовать поле пылинки, что приведет к появлению результирующей силы, действующей на шар в целом.

Таким образом, поле пылинки не только действует на шар, но и является причиной перераспределения заряда на его поверхности, что и определяет итоговую силу взаимодействия.

Ответ: Да, поле заряженной пылинки действует на заряженный металлический шар. Это является прямым следствием третьего закона Ньютона, согласно которому электростатические силы взаимодействия между двумя телами равны по величине и противоположны по направлению.

48.8 [1203] Одинаковые ли силы действуют на равные заряды $q_1$ и $q_2$ со стороны поля заряженного металлического шара (рис. VII-18)?

Рис. VII-18

Нет, силы, действующие на заряды $q_1$ и $q_2$ со стороны поля заряженного металлического шара, не будут одинаковыми. Это связано с явлением электростатической индукции.

Когда вблизи проводящего тела (в данном случае, металлического шара) помещается электрический заряд, свободные заряды внутри проводника перераспределяются. Это перераспределение, в свою очередь, изменяет электрическое поле вблизи проводника.

Сила, действующая на положительный заряд $q_1$

Положительный заряд $q_1$ отталкивает положительные заряды шара и притягивает его свободные электроны. В результате на стороне шара, обращенной к заряду $q_1$, скопится избыточный отрицательный заряд (индуцированный отрицательный заряд), а на противоположной стороне — избыточный положительный заряд (индуцированный положительный заряд).

Сила $F_1$, действующая на заряд $q_1$, является векторной суммой:

1. Силы отталкивания со стороны первоначального положительного заряда шара.
2. Силы притяжения со стороны индуцированных отрицательных зарядов, которые находятся ближе к $q_1$.
3. Силы отталкивания со стороны индуцированных положительных зарядов, которые находятся дальше от $q_1$.

Так как индуцированные отрицательные заряды расположены ближе к $q_1$, чем индуцированные положительные, их притяжение будет сильнее, чем отталкивание от дальних зарядов. Таким образом, явление индукции создает дополнительную силу, направленную к шару (силу притяжения), которая ослабляет первоначальную силу отталкивания. Общая сила $F_1$ будет направлена от шара, но ее модуль будет меньше, чем был бы без явления индукции.

Сила, действующая на отрицательный заряд $q_2$

Отрицательный заряд $q_2$ притягивает положительные заряды шара и отталкивает его свободные электроны. В результате на стороне шара, обращенной к заряду $q_2$, скопится избыточный положительный заряд, а на противоположной стороне — избыточный отрицательный заряд.

Сила $F_2$, действующая на заряд $q_2$, является векторной суммой:

1. Силы притяжения со стороны первоначального положительного заряда шара.
2. Силы притяжения со стороны индуцированных положительных зарядов, которые находятся ближе к $q_2$.
3. Силы отталкивания со стороны индуцированных отрицательных зарядов, которые находятся дальше от $q_2$.

Так как индуцированные положительные заряды расположены ближе к $q_2$, их притяжение будет сильнее, чем отталкивание от дальних отрицательных зарядов. Таким образом, явление индукции создает дополнительную силу притяжения, которая усиливает первоначальную силу притяжения. Общая сила $F_2$ будет направлена к шару, и ее модуль будет больше, чем был бы без явления индукции.

Вывод

Поскольку по условию заряды равны по модулю ($|q_1| = |q_2|$), но явление индукции ослабляет силу отталкивания для $q_1$ и усиливает силу притяжения для $q_2$, то модуль силы $|F_2|$ будет больше модуля силы $|F_1|$. Кроме того, сами силы направлены в противоположные стороны: $F_1$ — это сила отталкивания, а $F_2$ — сила притяжения. Следовательно, силы не одинаковы.

Ответ: Нет, силы не одинаковые. Силы различаются как по направлению (одна — отталкивания, другая — притяжения), так и по модулю. Сила притяжения, действующая на отрицательный заряд $q_2$, по модулю больше, чем сила отталкивания, действующая на положительный заряд $q_1$.

48.9 [н] Как изменятся силы взаимодействия $F_1$ и $F_2$ между шаром и каждым из зарядов $q_1$ и $q_2$ (см. рис. VII-18), если шар сместить между зарядами:

а) чуть правее;

б) чуть левее?

Рис. VII-18

Проанализируем силы, действующие на проводящий шар. Шар имеет собственный положительный заряд $Q$ и находится во внешнем электрическом поле, созданном зарядами $q_1$ (положительный) и $q_2$ (отрицательный).

Во-первых, из-за явления электростатической индукции свободные электроны в проводящем шаре перераспределяются под действием внешнего поля. Положительный заряд $q_1$ притягивает электроны к левой стороне шара, а отрицательный заряд $q_2$ отталкивает их от правой стороны (что также способствует их смещению влево). В результате левая сторона шара приобретает избыточный отрицательный заряд, а правая — избыточный положительный.

Сила взаимодействия $F_1$ между шаром и зарядом $q_1$ складывается из двух частей:

• Силы отталкивания между положительным зарядом $q_1$ и собственным положительным зарядом шара $Q$.
• Силы притяжения между положительным зарядом $q_1$ и индуцированными на левой стороне шара отрицательными зарядами.

Результирующая сила $F_1$ является векторной суммой этих двух сил.

Сила взаимодействия $F_2$ между шаром и зарядом $q_2$ также складывается из двух частей:

• Силы притяжения между отрицательным зарядом $q_2$ и собственным положительным зарядом шара $Q$.

• Силы притяжения между отрицательным зарядом $q_2$ и индуцированными на правой стороне шара положительными зарядами.

Обе составляющие силы $F_2$ являются силами притяжения, поэтому результирующая сила $F_2$ всегда является силой притяжения.

Рассмотрим, как изменятся величины (модули) этих сил при смещении шара.

При смещении шара вправо расстояние между шаром и зарядом $q_1$ увеличивается, а расстояние до заряда $q_2$ уменьшается.

Изменение силы $F_2$: Шар приближается к заряду $q_2$. Сила притяжения между их собственными зарядами ($Q$ и $q_2$) увеличится, так как она обратно пропорциональна квадрату расстояния ($F \sim 1/r^2$). Кроме того, при приближении к $q_2$ шар попадает в более сильное электрическое поле от этого заряда, что усиливает поляризацию шара (на правой стороне индуцируется еще больший положительный заряд). Сила притяжения между $q_2$ и этими индуцированными зарядами также возрастет. Поскольку обе составляющие силы притяжения увеличиваются, общая сила $F_2$ увеличится.

Изменение силы $F_1$: Шар удаляется от заряда $q_1$. Сила отталкивания между их собственными зарядами ($Q$ и $q_1$) уменьшится из-за увеличения расстояния. Сила притяжения между $q_1$ и индуцированными на левой стороне шара зарядами также уменьшится, поскольку расстояние до них увеличивается. Хотя поляризация шара может немного усилиться из-за приближения к $q_2$, основной вклад в изменение силы вносит изменение расстояния. Так как шар удаляется от $q_1$, все взаимодействия с ним ослабевают. Следовательно, величина силы $F_1$ уменьшится.

Ответ: Сила $F_1$ уменьшится, а сила $F_2$ увеличится.

Рассуждая аналогично, при смещении шара влево расстояние до заряда $q_1$ уменьшается, а расстояние до заряда $q_2$ увеличивается.

Изменение силы $F_1$: Шар приближается к заряду $q_1$. И сила отталкивания между собственными зарядами, и сила притяжения к индуцированным зарядам будут возрастать по величине из-за уменьшения расстояния. Вне зависимости от того, является ли результирующая сила $F_1$ силой отталкивания или притяжения, ее величина (модуль) увеличится, так как все взаимодействия с $q_1$ становятся интенсивнее.

Изменение силы $F_2$: Шар удаляется от заряда $q_2$. Обе составляющие силы притяжения ($F_2$) ослабевают из-за увеличения расстояния. Следовательно, величина силы $F_2$ уменьшится.

Ответ: Сила $F_1$ увеличится, а сила $F_2$ уменьшится.

48.10 [1204] Укажите направление сил, действующих со стороны электрических полей заряженных шаров и полей внесённых в них зарядов (см. рис. VII-17 и VII-18).

$+$

A

Рис. VII-17

$+$

$q_1$

$-$

$q_2$

Рис. VII-18

Решение

Рис. VII-17

На рисунке изображён положительно заряженный шар и положительный точечный заряд, расположенный в точке А. Взаимодействие между ними описывается законом Кулона.

1. Сила, действующая на точечный заряд в точке А со стороны поля шара.
Заряды шара и точечного заряда в точке А являются одноимёнными (оба положительные), поэтому они отталкиваются друг от друга. Сила, действующая со стороны электрического поля шара на точечный заряд, будет направлена от шара вдоль линии, соединяющей центр шара и точку А. На рисунке эта сила направлена вправо.

2. Сила, действующая на шар со стороны поля точечного заряда в точке А.
В соответствии с третьим законом Ньютона, сила, с которой поле точечного заряда в точке А действует на шар, равна по модулю и противоположна по направлению силе, действующей на заряд. Следовательно, эта сила направлена в сторону шара от заряда, то есть влево.

Ответ: Сила, действующая со стороны поля шара на заряд в точке А, направлена вправо (сила отталкивания). Сила, действующая со стороны поля заряда в точке А на шар, направлена влево (сила отталкивания).

Рис. VII-18

На рисунке изображён положительно заряженный шар, положительный точечный заряд $q_1$ и отрицательный точечный заряд $q_2$.

1. Силы, действующие на точечные заряды $q_1$ и $q_2$ со стороны поля шара.
Электрическое поле положительно заряженного шара действует на оба точечных заряда.
- Шар и заряд $q_1$ заряжены одноимённо (положительно), поэтому шар отталкивает заряд $q_1$. Сила, действующая на $q_1$, направлена от шара, то есть влево.
- Шар и заряд $q_2$ заряжены разноимённо (положительный и отрицательный), поэтому шар притягивает заряд $q_2$. Сила, действующая на $q_2$, направлена к шару, то есть влево.

2. Сила, действующая на шар со стороны полей точечных зарядов $q_1$ и $q_2$.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, результирующая сила, действующая на шар, равна векторной сумме сил от каждого из точечных зарядов.
- Положительный заряд $q_1$ отталкивает положительно заряженный шар. Сила $\vec{F}_{1}$, действующая на шар со стороны заряда $q_1$, направлена от $q_1$, то есть вправо.
- Отрицательный заряд $q_2$ притягивает положительно заряженный шар. Сила $\vec{F}_{2}$, действующая на шар со стороны заряда $q_2$, направлена к $q_2$, то есть вправо.
Поскольку обе силы, $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, направлены в одну сторону (вправо), то и их результирующая сила $\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$ будет направлена вправо.

Ответ: Сила, действующая на заряд $q_1$, направлена влево. Сила, действующая на заряд $q_2$, направлена влево. Результирующая сила, действующая на шар со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, направлена вправо.

48.11* [н] Двум равным зарядам $q_1$ и $q_2$ (см. рис. VII-18) предо- ставили возможность свободно переместиться на одинаковые рас- стояния в электрическом поле заряженного шара. Оцените работу поля $A_1$ и $A_2$ по перемещению зарядов.

Выберите правильный ответ:

1) $A_1 > 0$, $A_2 < 0$, $A_1 > A_2$

2) $A_1 = A_2$

3) $A_1 < 0$, $A_2 > 0$, $A_1 < A_2$

4) $A_1 > 0$, $A_2 > 0$, $A_1 > A_2$

Рис. VII-18

Для решения задачи проанализируем движение каждого заряда и работу, совершаемую над ними электрическим полем заряженного шара.

Работа $A$ электрического поля при перемещении заряда $q$ положительна, если сила, действующая со стороны поля, сонаправлена с перемещением заряда. В противном случае работа отрицательна. Работа также может быть вычислена через разность потенциалов: $A = q(\phi_{\text{нач}} - \phi_{\text{кон}})$.

Анализ согласно рисунку (положительно заряженный шар, $Q>0$)

1. Знак работы $A_1$ для заряда $q_1$.Заряд шара $Q$ — положительный, и пробный заряд $q_1$ также положительный. Между ними действует сила электростатического отталкивания. При свободном перемещении заряд $q_1$ будет двигаться от шара. Так как направление силы совпадает с направлением перемещения, работа поля $A_1$ будет положительной: $A_1 > 0$.

2. Знак работы $A_2$ для заряда $q_2$.Заряд шара $Q$ — положительный, а пробный заряд $q_2$ — отрицательный. Между ними действует сила электростатического притяжения. При свободном перемещении заряд $q_2$ будет двигаться к шару. Направление силы вновь совпадает с направлением перемещения, поэтому работа поля $A_2$ также будет положительной: $A_2 > 0$.

3. Сравнение величин работ $A_1$ и $A_2$.Работа поля зависит от величины силы и пройденного пути. По условию, заряды перемещаются на одинаковые расстояния $d$. Однако электрическое поле шара является неоднородным: его напряженность (и, следовательно, сила, действующая на заряд) убывает с расстоянием по закону $F \sim \frac{1}{r^2}$.

• Заряд $q_1$ движется от шара, из области с более сильным полем в область с более слабым полем (например, с расстояния $r_0$ до $r_0+d$).
• Заряд $q_2$ движется к шару, из области с более слабым полем в область с более сильным полем (с расстояния $r_0$ до $r_0-d$).

Таким образом, анализ, строго соответствующий рисунку, приводит к выводу: $A_1 > 0, A_2 > 0$ и $A_1 < A_2$.

Выбор правильного ответа

Полученный результат ($A_1 > 0, A_2 > 0, A_1 < A_2$) не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Это указывает на наличие опечатки в условии задачи или в самих вариантах. Наиболее вероятной является опечатка в знаке заряда центрального шара на рисунке. Проверим, какой результат получится, если шар заряжен отрицательно ($Q<0$).

• Знаки работ: Положительный заряд $q_1$ будет притягиваться к отрицательному шару, а отрицательный заряд $q_2$ будет отталкиваться. В обоих случаях свободное движение происходит по направлению силы, поэтому обе работы $A_1$ и $A_2$ будут положительными.
• Сравнение работ: Теперь заряд $q_1$ движется к шару (в область более сильного поля), а $q_2$ — от шара (в область более слабого поля). Следовательно, средняя сила, действующая на $q_1$, будет больше, и работа $A_1$ будет больше работы $A_2$: $A_1 > A_2$.

При предположении, что шар заряжен отрицательно, мы получаем результат: $A_1 > 0, A_2 > 0, A_1 > A_2$. Этот вывод совпадает с вариантом ответа 4.

Ответ: 4) $A_1 > 0, A_2 > 0, A_1 > A_2$

48.12 [н] Вдоль окружности с центром, совпадающим с центром заряженного шарика A, переместили другой заряженный шарик B. Чему равна работа электрического поля?

Решение

Заряженный шарик A создает вокруг себя электростатическое поле. Поскольку шарик A имеет сферическую симметрию, создаваемое им электрическое поле является центральным, то есть его силовые линии направлены по радиусам от центра шарика (или к центру, в зависимости от знака заряда).

Поверхности, все точки которых имеют одинаковый электрический потенциал, называются эквипотенциальными поверхностями. Для поля, создаваемого точечным зарядом или заряженным шариком, эквипотенциальными поверхностями являются концентрические сферы, центр которых совпадает с центром заряда. Потенциал $\phi$ в любой точке на расстоянии $r$ от центра шарика A с зарядом $q_A$ определяется по формуле: $ \phi = k \frac{q_A}{r} $

Согласно условию, другой заряженный шарик B перемещается вдоль окружности, центр которой совпадает с центром шарика A. Это означает, что во время движения расстояние $r$ между центрами шариков A и B остается постоянным. Следовательно, шарик B движется по траектории, все точки которой имеют одинаковый электрический потенциал. Такая траектория лежит на эквипотенциальной поверхности.

Работа $A$ электрического поля при перемещении заряда $q_B$ из начальной точки 1 в конечную точку 2 равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов между начальной и конечной точками: $ A = q_B(\phi_1 - \phi_2) $

Поскольку шарик B движется по эквипотенциальной линии, его потенциал в начальной точке $\phi_1$ равен потенциалу в конечной точке $\phi_2$. Таким образом, разность потенциалов равна нулю: $ \phi_1 - \phi_2 = 0 $ Из этого следует, что и работа электрического поля равна нулю: $ A = q_B \cdot 0 = 0 $

К этому же выводу можно прийти, рассмотрев векторы силы и перемещения. Сила Кулона $\vec{F}$, действующая на шарик B со стороны шарика A, всегда направлена радиально (вдоль линии, соединяющей их центры). Вектор элементарного перемещения $d\vec{l}$ при движении по окружности в любой точке направлен по касательной к этой окружности. Так как радиус и касательная к окружности перпендикулярны, угол $\theta$ между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $d\vec{l}$ всегда составляет $90^\circ$. Элементарная работа $dA$ на малом участке пути равна скалярному произведению $dA = \vec{F} \cdot d\vec{l} = |\vec{F}| |d\vec{l}| \cos\theta$. Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, элементарная работа на любом участке пути равна нулю. Соответственно, и полная работа на всей траектории равна нулю.

Ответ: работа электрического поля равна нулю.

48.13 [1205] Будут ли взаимодействовать близко расположенные электрические заряды в безвоздушном пространстве, например на Луне, где нет атмосферы?

Решение

Да, близко расположенные электрические заряды будут взаимодействовать в безвоздушном пространстве, например на Луне. Это связано с тем, что электрическое взаимодействие осуществляется посредством электромагнитного поля, которое не требует наличия какой-либо материальной среды (например, воздуха) для своего существования и распространения.

Сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, описывается законом Кулона. В вакууме, что практически соответствует безвоздушному пространству, эта сила равна: $F_{вакуум} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, где $\epsilon_0$ — это электрическая постоянная, фундаментальная физическая константа, характеризующая электрические свойства вакуума.

Наличие любой материальной среды (диэлектрика), такой как воздух, лишь ослабляет это взаимодействие. Сила взаимодействия в среде с относительной диэлектрической проницаемостью $\epsilon_r$ будет в $\epsilon_r$ раз меньше, чем в вакууме: $F_{среда} = \frac{F_{вакуум}}{\epsilon_r}$. Так как для любого вещества $\epsilon_r > 1$ (для воздуха $\epsilon_r \approx 1.0006$), сила взаимодействия в вакууме является максимально возможной при заданных зарядах и расстоянии.

Таким образом, отсутствие атмосферы на Луне не только не препятствует взаимодействию зарядов, но и создаёт условия для их максимально сильного взаимодействия.

Ответ: Да, электрические заряды будут взаимодействовать в безвоздушном пространстве, так как для электрического взаимодействия не требуется наличие материальной среды.

48.14 [1206] Если маленький кусочек ваты, подвешенный на нити, поднести к одному из заряженных шариков электрической машины, то кусочек ваты будет совершать колебательные движения (рис. VII-19). Объясните это явление. (Колебательные движения ватка будет совершать и без нити.)

Рис. VII-19

Решение

Описанное явление, известное как электростатический маятник, объясняется последовательным действием законов электростатики. Колебания ваты между шариками электрической машины — это циклический процесс, состоящий из притяжения, перезарядки и отталкивания. Для понимания рассмотрим его поэтапно.

Вначале кусочек ваты электрически нейтрален. Когда его подносят к одному из заряженных шариков (допустим, заряженному положительно), в вате происходит явление электростатической индукции. Электрическое поле шарика заставляет связанные заряды в диэлектрике (вате) перераспределиться: отрицательные заряды смещаются ближе к шарику, а положительные — дальше от него. В результате сторона ваты, обращённая к шарику, приобретает эффективный отрицательный заряд, а противоположная — положительный. Сила притяжения между положительным шариком и индуцированным отрицательным зарядом на ближней стороне ваты оказывается сильнее силы отталкивания от индуцированного положительного заряда на дальней стороне. Это происходит потому, что кулоновские силы убывают с расстоянием. Таким образом, на вату начинает действовать результирующая сила притяжения.

Под действием этой силы вата притягивается к шарику и касается его. В момент контакта происходит передача заряда. Часть заряда с шарика переходит на вату, в результате чего вата приобретает заряд того же знака, что и шарик (в нашем примере — положительный).

Сразу после перезарядки ситуация меняется кардинально. Теперь и шарик, и вата заряжены одноимённо. Согласно закону Кулона, тела с одноимёнными зарядами отталкиваются. Сила электростатического отталкивания, определяемая по формуле $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, становится доминирующей и отбрасывает лёгкий кусочек ваты от шарика.

Оттолкнувшись, вата на нити движется по траектории маятника. Если рядом находится второй шарик электрической машины, который обычно заряжен противоположно (в нашем случае — отрицательно) или заземлён, то положительно заряженная вата будет притягиваться к нему. Достигнув второго шарика, она коснётся его, и произойдёт обратный процесс перезарядки: вата либо нейтрализуется, либо приобретёт отрицательный заряд. После этого она будет отталкиваться от второго шарика и снова притягиваться к первому. Цикл замыкается, и вата совершает непрерывные колебания между двумя шариками, перенося порции заряда от одного к другому.

Примечание в условии задачи о том, что колебания возможны и без нити, относится к демонстрации, где лёгкий шарик или кусочек фольги помещается между двумя пластинами или шарами. Силы действуют так же, заставляя его прыгать от одного электрода к другому.

Ответ: Колебания кусочка ваты вызваны циклическим процессом: сначала нейтральная вата притягивается к заряженному шарику из-за электростатической индукции, при контакте получает от него одноимённый заряд, затем отталкивается от него и притягивается к другому шарику (имеющему противоположный заряд или нейтральному), где процесс повторяется в обратном порядке, что и создаёт непрерывное колебательное движение.