Номер 179, страница 29 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Взаимодействие тел. Масса - номер 179, страница 29.

Условие.

179. Какая лодка — массой 100 кг или 200 кг — при прыжке человека из неё движется назад с большей скоростью и во сколько раз? В каком случае лодка и человек двигались бы при взаимодействии с одинаковыми скоростями?

Решение.

Дано:

Масса первой лодки $m_{л1} = 100$ кг

Масса второй лодки $m_{л2} = 200$ кг

Найти:

1. Какая лодка будет двигаться с большей скоростью и во сколько раз?

2. Условие, при котором скорости лодки и человека будут равны по модулю.

Решение:

Рассмотрим замкнутую систему "человек-лодка". До прыжка система покоилась, поэтому ее начальный импульс равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после прыжка также должен быть равен нулю. Горизонтальными внешними силами (сопротивлением воды и воздуха) пренебрегаем.

Какая лодка — массой 100 кг или 200 кг — при прыжке человека из неё движется назад с большей скоростью и во сколько раз?

Закон сохранения импульса для системы "человек-лодка" в векторной форме выглядит так:

$m_л \vec{v_л} + m_ч \vec{v_ч} = 0$

где $m_л$ и $\vec{v_л}$ – масса и скорость лодки, а $m_ч$ и $\vec{v_ч}$ – масса и скорость человека. Из этого следует, что импульсы лодки и человека равны по модулю и противоположны по направлению:

$|m_л \vec{v_л}| = |-m_ч \vec{v_ч}|$

Переходя к модулям скоростей, получаем:

$m_л v_л = m_ч v_ч$

Выразим модуль скорости лодки $v_л$:

$v_л = \frac{m_ч v_ч}{m_л}$

Будем считать, что импульс $p_ч = m_ч v_ч$, который человек получает при прыжке, одинаков в обоих случаях, так как усилие, прилагаемое человеком, не зависит от массы лодки. Тогда скорость лодки $v_л$ обратно пропорциональна ее массе $m_л$. Это означает, что чем меньше масса лодки, тем больше будет ее скорость отдачи.

Сравним скорости лодок:

Для первой лодки ($m_{л1} = 100$ кг): $v_{л1} = \frac{p_ч}{m_{л1}}$

Для второй лодки ($m_{л2} = 200$ кг): $v_{л2} = \frac{p_ч}{m_{л2}}$

Поскольку $m_{л1} < m_{л2}$ ($100 \text{ кг} < 200 \text{ кг}$), то скорость первой лодки будет больше: $v_{л1} > v_{л2}$.

Найдем отношение скоростей, чтобы определить, во сколько раз скорость первой лодки больше:

$\frac{v_{л1}}{v_{л2}} = \frac{p_ч / m_{л1}}{p_ч / m_{л2}} = \frac{m_{л2}}{m_{л1}} = \frac{200 \text{ кг}}{100 \text{ кг}} = 2$

Ответ: С большей скоростью будет двигаться лодка массой 100 кг. Ее скорость будет в 2 раза больше, чем у лодки массой 200 кг.

В каком случае лодка и человек двигались бы при взаимодействии с одинаковыми скоростями?

Чтобы лодка и человек двигались с одинаковыми по модулю скоростями, должно выполняться условие $v_л = v_ч$.

Воспользуемся уравнением для модулей импульсов из закона сохранения импульса:

$m_л v_л = m_ч v_ч$

Подставим в него условие равенства скоростей $v_л = v_ч$:

$m_л v_ч = m_ч v_ч$

Поскольку человек совершает прыжок, его скорость $v_ч$ не равна нулю. Следовательно, мы можем сократить обе части уравнения на $v_ч$:

$m_л = m_ч$

Таким образом, скорости лодки и человека будут одинаковы по модулю, если их массы равны.

Ответ: Лодка и человек двигались бы с одинаковыми по модулю скоростями, если бы их массы были равны.