Номер 345, страница 49 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Давление. Давление твёрдых тел - номер 345, страница 49.

Условие.

* 345. Цилиндр, изготовленный из алюминия, имеет высоту 10 см. Какую высоту имеет медный цилиндр такого же диаметра, если он оказывает на стол такое же давление?

Решение.

Дано:

Материал первого цилиндра - алюминий

Высота алюминиевого цилиндра, $h_{ал} = 10$ см

Материал второго цилиндра - медь

Давление, оказываемое цилиндрами, одинаковое: $p_{ал} = p_{м}$

Диаметры цилиндров одинаковые: $d_{ал} = d_{м}$

Плотность алюминия, $\rho_{ал} = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Плотность меди, $\rho_{м} = 8900 \frac{кг}{м^3}$

Перевод в систему СИ:

$h_{ал} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Высоту медного цилиндра $h_{м}$.

Решение:

Давление, которое твердое тело оказывает на горизонтальную опору, вычисляется по формуле:

$p = \frac{F}{S}$

где $\text{F}$ – сила давления, а $\text{S}$ – площадь опоры. В данном случае сила давления равна силе тяжести цилиндра, $F = mg$, где $\text{m}$ – масса цилиндра, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Массу цилиндра можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho V$

Объем цилиндра равен произведению площади его основания $\text{S}$ на высоту $\text{h}$:

$V = S \cdot h$

Подставим выражения для массы и объема в формулу для давления:

$p = \frac{\rho \cdot S \cdot h \cdot g}{S}$

Площадь основания $\text{S}$ сокращается, и формула для давления принимает вид:

$p = \rho g h$

Из этой формулы следует, что давление, оказываемое цилиндром на горизонтальную поверхность, не зависит от его диаметра (и площади основания), а зависит только от плотности материала и высоты цилиндра.

По условию задачи, давление, оказываемое алюминиевым цилиндром ($p_{ал}$), равно давлению, оказываемому медным цилиндром ($p_{м}$):

$p_{ал} = p_{м}$

Используя выведенную формулу, запишем это равенство:

$\rho_{ал} g h_{ал} = \rho_{м} g h_{м}$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_{ал} h_{ал} = \rho_{м} h_{м}$

Из этого соотношения выразим искомую высоту медного цилиндра $h_{м}$:

$h_{м} = h_{ал} \frac{\rho_{ал}}{\rho_{м}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h_{м} = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{2700 \frac{кг}{м^3}}{8900 \frac{кг}{м^3}} \approx 0.1 \text{ м} \cdot 0.303 \approx 0.0303 \text{ м}$

Переведем результат обратно в сантиметры:

$h_{м} \approx 3.03 \text{ см}$

Округляя до десятых, получаем $3.0$ см.

Ответ: высота медного цилиндра составляет примерно 3.0 см.