Номер 346, страница 49 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Давление. Давление твёрдых тел - номер 346, страница 49.

Условие.

* 346. Какой высоты колонну можно было бы изготовить из целого куска гранита, чтобы она не разрушилась под действием собственной силы тяжести? Допустимое давление гранита равно 270 МПа.

Решение.

Дано:

Допустимое давление гранита, $P_{доп} = 270$ МПа
Плотность гранита (справочное значение), $\rho \approx 2700$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ Н/кг

Перевод в систему СИ:
$P_{доп} = 270 \cdot 10^6$ Па

Найти:

$h_{max}$ — ?

Решение:

Давление, которое колонна оказывает на свое основание под действием собственной силы тяжести, определяется по формуле: $P = \frac{F_т}{S}$ , где $F_т$ – сила тяжести (вес колонны), а $\text{S}$ – площадь её основания.

Сила тяжести вычисляется как $F_т = mg$, где $\text{m}$ – масса колонны. Массу можно выразить через плотность $\rho$ и объём $\text{V}$: $m = \rho V$.

Объём колонны (примем её за цилиндр или призму) равен произведению площади её основания $\text{S}$ на высоту $\text{h}$: $V = S \cdot h$.

Подставив все выражения в формулу для давления, получим: $P = \frac{mg}{S} = \frac{\rho V g}{S} = \frac{\rho S h g}{S} = \rho g h$

Из полученной формулы видно, что давление на основание не зависит от его формы или площади, а определяется только высотой колонны и плотностью материала.

Чтобы колонна не разрушилась, создаваемое ею давление $\text{P}$ не должно превышать допустимое давление $P_{доп}$. Максимальная высота $h_{max}$ будет достигнута, когда давление на основание станет равным допустимому: $P_{доп} = \rho g h_{max}$

Отсюда выразим максимальную высоту: $h_{max} = \frac{P_{доп}}{\rho g}$

Подставим числовые значения и произведём расчёт: $h_{max} = \frac{270 \cdot 10^6 \text{ Па}}{2700 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг}} = \frac{1 \cdot 10^5}{9.8} \text{ м} \approx 10204 \text{ м}$

Переведем результат в километры и округлим: $10204 \text{ м} \approx 10.2 \text{ км}$

Ответ: максимальная высота гранитной колонны, при которой она не разрушится под собственным весом, составляет примерно $10.2$ км.