Номер 340, страница 49 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Давление. Давление твёрдых тел - номер 340, страница 49.

Условие.

340. Один из героев романа Н. Г. Чернышевского «Что делать?», закаляя свою волю, спал на доске с гвоздями (остриями вверх). Оцените, из какого числа гвоздей должно было состоять ложе героя, считая, что его масса 70 кг, остриё каждого гвоздя имеет площадь 0,1 мм², а человеческая кожа может выдерживать давление 3 МПа.

Решение.

Дано:

Масса героя, $m = 70 \text{ кг}$
Площадь острия одного гвоздя, $S_1 = 0,1 \text{ мм}^2$
Максимальное давление, которое выдерживает кожа, $P_{max} = 3 \text{ МПа}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:
$S_1 = 0,1 \text{ мм}^2 = 0,1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 10^{-7} \text{ м}^2$
$P_{max} = 3 \text{ МПа} = 3 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Найти:

Минимальное число гвоздей, $\text{N}$.

Решение:

Давление $\text{P}$ определяется как отношение силы $\text{F}$, действующей перпендикулярно на поверхность, к площади этой поверхности $\text{S}$:

$P = \frac{F}{S}$

Сила $\text{F}$, с которой герой действует на ложе, – это его вес. Рассчитаем его:

$F = mg = 70 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 700 \text{ Н}$

Общая площадь $\text{S}$ соприкосновения тела с гвоздями равна произведению количества гвоздей $\text{N}$ на площадь острия одного гвоздя $S_1$:

$S = N \cdot S_1$

Для того чтобы герой мог лежать на гвоздях и не пораниться, давление, оказываемое на его кожу, не должно превышать максимальное значение $P_{max}$. Для нахождения минимального числа гвоздей будем считать, что давление равно максимальному:

$P_{max} = \frac{F}{S} = \frac{mg}{N \cdot S_1}$

Из этой формулы выразим искомое число гвоздей $\text{N}$:

$N = \frac{mg}{P_{max} \cdot S_1}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$N = \frac{700 \text{ Н}}{3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 10^{-7} \text{ м}^2} = \frac{700}{3 \cdot 10^{-1}} = \frac{700}{0,3} = \frac{7000}{3} \approx 2333,33$

Поскольку число гвоздей может быть только целым, а мы ищем минимальное количество, при котором кожа не будет повреждена, необходимо округлить полученное значение до ближайшего целого в большую сторону.

Ответ: ложе героя должно было состоять не менее чем из 2334 гвоздей.