Номер 546, страница 72 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 546, страница 72.

Условие.

546. Мальчик без усилий поднимает в воздухе камень массой 10 кг. Камень какой массы поднимет этот мальчик в воде? Плотность камня $2500 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

$m_1 = 10 \text{ кг}$ (масса камня, поднимаемого в воздухе)

$\rho_{к} = 2500 \text{ кг/м}^3$ (плотность камня)

$\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность пресной воды, справочное значение)

Найти:

$m_2$ - масса камня, который мальчик сможет поднять в воде.

Решение:

1. Определим максимальную силу, которую может приложить мальчик. По условию, он без усилий поднимает в воздухе камень массой $m_1 = 10 \text{ кг}$. Это означает, что он может приложить силу, равную весу этого камня. Вес камня в воздухе ($P_1$) рассчитывается по формуле:

$F = P_1 = m_1 \cdot g$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

2. Когда камень находится в воде, на него действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Поэтому вес камня в воде ($P_2$) будет меньше его веса в воздухе ($W_2$). Чтобы поднять камень в воде, мальчику нужно приложить силу, равную весу камня в воде:

$P_2 = W_2 - F_A$

Мальчик сможет поднять камень, если прикладываемая им сила $\text{F}$ будет равна весу камня в воде $P_2$.

$F = P_2$

Приравняем выражения для силы из пункта 1 и 2:

$m_1 \cdot g = W_2 - F_A$

3. Распишем вес камня в воздухе ($W_2$) и силу Архимеда ($F_A$) для камня массой $m_2$, который мальчик поднимает в воде.

Вес камня в воздухе: $W_2 = m_2 \cdot g$.

Сила Архимеда: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_2$, где $V_2$ — объем камня.

Объем камня можно выразить через его массу $m_2$ и плотность $\rho_к$: $V_2 = \frac{m_2}{\rho_к}$.

Тогда сила Архимеда будет равна: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot \frac{m_2}{\rho_к}$.

4. Подставим выражения для $W_2$ и $F_A$ в основное уравнение:

$m_1 \cdot g = m_2 \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot \frac{m_2}{\rho_к}$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$, так как оно есть в каждом члене уравнения:

$m_1 = m_2 - \frac{m_2 \cdot \rho_в}{\rho_к}$

5. Выразим искомую массу $m_2$. Для этого вынесем $m_2$ за скобки:

$m_1 = m_2 \cdot \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_к}\right)$

Отсюда находим $m_2$:

$m_2 = \frac{m_1}{1 - \frac{\rho_в}{\rho_к}}$

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$m_2 = \frac{10 \text{ кг}}{1 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{2500 \text{ кг/м}^3}} = \frac{10}{1 - 0.4} = \frac{10}{0.6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16.67 \text{ кг}$

Ответ: мальчик сможет поднять в воде камень массой примерно $16.7$ кг.