Номер 539, страница 72 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 539, страница 72.

Условие.

539. Нефть в специальной оболочке опустили на дно моря (рис. 86). Груз какой массы потребуется, чтобы удержать 250 м³ нефти под водой? Масса пустой оболочки 4 т, и оболочка полностью заполнена нефтью.

Рис. 86

Решение.

Дано:

Объем нефти, $V_{нефти} = 250 \text{ м}^3$

Масса пустой оболочки, $m_{обол} = 4 \text{ т}$

Плотность нефти, $\rho_{нефти} \approx 800 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)

Плотность морской воды, $\rho_{воды} \approx 1030 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$m_{обол} = 4 \text{ т} = 4 \times 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$

Найти:

Массу груза, $m_{груза}$

Решение:

Для того чтобы оболочка с нефтью оставалась на дне, необходимо, чтобы суммарная сила тяжести (оболочки, нефти и груза) уравновешивала выталкивающую силу Архимеда. Рассмотрим условие равновесия сил, действующих на систему "оболочка + нефть + груз":

$F_A = F_{т, общ}$

где $F_A$ — сила Архимеда, а $F_{т, общ}$ — общая сила тяжести.

Общая сила тяжести складывается из силы тяжести оболочки ($F_{т, обол}$), силы тяжести нефти ($F_{т, нефти}$) и силы тяжести удерживающего груза ($F_{т, груза}$):

$F_{т, общ} = F_{т, обол} + F_{т, нефти} + F_{т, груза}$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости (морской воды). Так как оболочка полностью заполнена нефтью, объем вытесненной воды равен объему нефти $V_{нефти}$.

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{нефти}$

Силы тяжести компонентов системы равны:

$F_{т, обол} = m_{обол} \cdot g$

$F_{т, нефти} = m_{нефти} \cdot g = \rho_{нефти} \cdot V_{нефти} \cdot g$

$F_{т, груза} = m_{груза} \cdot g$

Подставим все выражения в уравнение равновесия:

$\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{нефти} = m_{обол} \cdot g + (\rho_{нефти} \cdot V_{нефти}) \cdot g + m_{груза} \cdot g$

Можно сократить обе части уравнения на ускорение свободного падения $\text{g}$:

$\rho_{воды} \cdot V_{нефти} = m_{обол} + \rho_{нефти} \cdot V_{нефти} + m_{груза}$

Выразим из этого уравнения искомую массу груза $m_{груза}$:

$m_{груза} = \rho_{воды} \cdot V_{нефти} - \rho_{нефти} \cdot V_{нефти} - m_{обол}$

$m_{груза} = (\rho_{воды} - \rho_{нефти}) \cdot V_{нефти} - m_{обол}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$m_{груза} = (1030 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3) \cdot 250 \text{ м}^3 - 4000 \text{ кг}$

$m_{груза} = 230 \text{ кг/м}^3 \cdot 250 \text{ м}^3 - 4000 \text{ кг}$

$m_{груза} = 57500 \text{ кг} - 4000 \text{ кг} = 53500 \text{ кг}$

Массу можно также выразить в тоннах: $53500 \text{ кг} = 53,5 \text{ т}$.

Ответ: чтобы удержать 250 м³ нефти под водой, потребуется груз массой 53500 кг (или 53,5 т).