Номер 701, страница 96 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Работа и мощность. Энергия. Механическая энергия. Превращение механической энергии одного вида в другой - номер 701, страница 96.

Условие.

701. Два сплошных шара одинакового объёма — алюминиевый 1 и медный 2 — падают с одинаковой высоты из состояния покоя. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Сравните кинетические энергии $E_1$ и $E_2$ и скорости шаров $v_1$ и $v_2$ непосредственно перед ударом о землю.

1) $E_1 = E_2; v_1 = v_2$

2) $E_1 = E_2; v_1 < v_2$

3) $E_1 < E_2; v_1 = v_2$

4) $E_1 < E_2; v_1 < v_2$

Решение.

Дано:

Шар 1 - алюминиевый, Шар 2 - медный.

Объём шаров одинаков: $V_1 = V_2 = V$.

Шары падают с одинаковой высоты: $h_1 = h_2 = h$.

Начальная скорость шаров равна нулю: $v_{0,1} = v_{0,2} = 0$.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Плотность алюминия $\rho_1 \approx 2700 \text{ кг/м}^3$.

Плотность меди $\rho_2 \approx 8960 \text{ кг/м}^3$.

Следовательно, $\rho_1 < \rho_2$.

Найти:

Сравнить скорости $v_1$ и $v_2$ и кинетические энергии $E_1$ и $E_2$ непосредственно перед ударом о землю.

Решение:

1. Сравнение скоростей $v_1$ и $v_2$.

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, на каждый шар действует только сила тяжести. В этом случае выполняется закон сохранения механической энергии. В начальный момент времени (на высоте $\text{h}$) шары обладают потенциальной энергией $E_p = mgh$ и нулевой кинетической энергией (так как они падают из состояния покоя). В конечный момент времени (непосредственно перед ударом о землю, $h=0$) потенциальная энергия шаров равна нулю, а вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Запишем закон сохранения энергии для одного шара:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для скорости:

$gh = \frac{1}{2}v^2$

$v = \sqrt{2gh}$

Как видно из формулы, конечная скорость шара зависит только от высоты падения $\text{h}$ и ускорения свободного падения $\text{g}$. Поскольку оба шара падают с одинаковой высоты $\text{h}$, их скорости перед ударом о землю будут одинаковы.

$v_1 = v_2$

2. Сравнение кинетических энергий $E_1$ и $E_2$.

Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Мы уже установили, что скорости шаров одинаковы ($v_1 = v_2 = v$). Следовательно, для сравнения кинетических энергий нам нужно сравнить массы шаров.

Масса тела связана с его плотностью $\rho$ и объёмом $\text{V}$ соотношением $m = \rho V$.

Масса алюминиевого шара: $m_1 = \rho_1 V$.

Масса медного шара: $m_2 = \rho_2 V$.

По условию объёмы шаров одинаковы ($V_1 = V_2 = V$). Плотность алюминия меньше плотности меди ($\rho_1 < \rho_2$). Следовательно, масса алюминиевого шара меньше массы медного шара:

$m_1 < m_2$

Теперь сравним их кинетические энергии:

$E_1 = \frac{1}{2}m_1 v^2$

$E_2 = \frac{1}{2}m_2 v^2$

Так как $m_1 < m_2$ и скорости $\text{v}$ одинаковы, то кинетическая энергия алюминиевого шара будет меньше кинетической энергии медного шара.

$E_1 < E_2$

Таким образом, мы получили, что $v_1 = v_2$ и $E_1 < E_2$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $E_1 < E_2$; $v_1 = v_2$, что соответствует варианту 3).