Номер 398, страница 158 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Сила Ампера - номер 398, страница 158.

Условие.

398. Проводник длиной 10 см располагается горизонтально и перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении на проводнике 100 В сила Ампера уравновешивается силой тяжести. Определите плотность материала, из которого изготовлен проводник, если его удельное сопротивление $10^{-5} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$, а индукция магнитного поля $1 \, \text{мТл}$.

Решение.

Дано:

$l = 10 \text{ см}$

$U = 100 \text{ В}$

$F_A = F_g$

$\rho_{эл} = 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$B = 1 \text{ мТл}$

$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.1 \text{ м}$

$B = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

$\rho$ - ?

Решение:

Согласно условию задачи, проводник находится в равновесии, следовательно, действующая на него сила Ампера $F_A$ уравновешена силой тяжести $F_g$.

$F_A = F_g$

Сила Ампера, действующая на прямой проводник с током в магнитном поле, определяется формулой:

$F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

где $\text{I}$ – сила тока, $\text{B}$ – индукция магнитного поля, $\text{l}$ – длина проводника, $\alpha$ – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. По условию, проводник расположен перпендикулярно линиям индукции, значит $\alpha = 90^\circ$ и $\sin(90^\circ) = 1$. Таким образом, формула упрощается:

$F_A = I \cdot B \cdot l$

Сила тяжести вычисляется по формуле:

$F_g = m \cdot g$

где $\text{m}$ – масса проводника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Приравнивая выражения для сил, получаем:

$I \cdot B \cdot l = m \cdot g$

Массу проводника можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$: $m = \\rho\cdot V$. Объем цилиндрического проводника равен $V = S \cdot l$, где $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Следовательно, $m = \\rho\cdot S \cdot l$.

Подставим это выражение в уравнение равновесия:

$I \cdot B \cdot l = \\rho\cdot S \cdot l \cdot g$

Сократим длину $\text{l}$ в обеих частях уравнения:

$I \cdot B = \\rho\cdot S \cdot g$

Отсюда выразим искомую плотность материала $\rho$:

$\\rho= \frac{I \cdot B}{S \cdot g}$

Силу тока $\text{I}$ в проводнике найдем по закону Ома: $I = \frac{U}{R}$. Сопротивление проводника $\text{R}$ связано с его удельным сопротивлением $\rho_{эл}$, длиной $\text{l}$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$ формулой: $R = \frac{\rho_{эл} \cdot l}{S}$.

Подставив выражение для $\text{R}$ в закон Ома, получим:

$I = \frac{U}{\frac{\rho_{эл} \cdot l}{S}} = \frac{U \cdot S}{\rho_{эл} \cdot l}$

Теперь подставим это выражение для силы тока $\text{I}$ в формулу для плотности $\rho$:

$\\rho= \frac{(\frac{U \cdot S}{\rho_{эл} \cdot l}) \cdot B}{S \cdot g} = \frac{U \cdot S \cdot B}{\rho_{эл} \cdot l \cdot S \cdot g}$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается, и мы получаем окончательную расчетную формулу:

$\\rho= \frac{U \cdot B}{\rho_{эл} \cdot l \cdot g}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$\\rho= \frac{100 \text{ В} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}{10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{10^{-1}}{9.8 \cdot 10^{-6}} = \frac{10^5}{9.8} \approx 10204 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$\\rho\approx 1.02 \cdot 10^4 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $1.02 \cdot 10^4 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.