Номер 1741, страница 204 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Механические колебания и волны. 61. Колебания. Величины, характеризующие колебательное движение. Превращения энергии при колебаниях маятника. Резонанс. Волны. Скорость распространения волны - номер 1741, страница 204.

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$k_1 = 5k_2$

$v_{max1} = v_{max2} = v$

Найти:

Какую пружину надо растянуть больше и во сколько раз? ($\frac{A_2}{A_1} = ?$)

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы, состоящей из груза и пружины, в любой момент времени постоянна и равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

В момент максимального отклонения от положения равновесия на расстояние $\text{A}$ (амплитуда колебаний), скорость груза равна нулю, и вся энергия системы является потенциальной энергией упруго деформированной пружины:

$E = E_{p_{max}} = \frac{1}{2}kA^2$

В момент прохождения положения равновесия ($x=0$), растяжение пружины равно нулю, а скорость груза максимальна ($v_{max}$). В этот момент вся энергия системы является кинетической:

$E = E_{k_{max}} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Так как полная энергия сохраняется, мы можем приравнять максимальную потенциальную и максимальную кинетическую энергии:

$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Запишем это соотношение для обеих систем.

Для первой системы (груз массой $\text{m}$ на пружине с жёсткостью $k_1$ и амплитудой $A_1$):

$\frac{1}{2}k_1 A_1^2 = \frac{1}{2}m v_{max1}^2$

Для второй системы (груз массой $\text{m}$ на пружине с жёсткостью $k_2$ и амплитудой $A_2$):

$\frac{1}{2}k_2 A_2^2 = \frac{1}{2}m v_{max2}^2$

По условию задачи массы грузов одинаковы ($m_1=m_2=m$) и их скорости при прохождении положения равновесия равны ($v_{max1}=v_{max2}=v$). Это означает, что их максимальные кинетические энергии равны. Следовательно, должны быть равны и их полные энергии, а значит и их максимальные потенциальные энергии:

$\frac{1}{2}k_1 A_1^2 = \frac{1}{2}k_2 A_2^2$

Умножим обе части уравнения на 2:

$k_1 A_1^2 = k_2 A_2^2$

Из условия задачи нам известно, что $k_1 = 5k_2$. Подставим это выражение в уравнение:

$(5k_2) A_1^2 = k_2 A_2^2$

Сократим $k_2$ (так как жёсткость пружины не может быть равна нулю):

$5A_1^2 = A_2^2$

Отсюда найдём отношение амплитуд (растяжений) $\frac{A_2}{A_1}$:

$\frac{A_2^2}{A_1^2} = 5$

$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{5}$

Так как $\sqrt{5} \approx 2.236 > 1$, то $A_2 > A_1$. Это означает, что вторую пружину, имеющую меньшую жёсткость, нужно растянуть сильнее.

Ответ: Чтобы скорости грузов в момент прохождения положения равновесия были одинаковыми, нужно сильнее растянуть вторую пружину (с меньшей жёсткостью). Её нужно растянуть в $\sqrt{5}$ раз больше, чем первую.